Abhängigkeit Polynomnullstelle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei F : [mm] \IR^{n+1} [/mm] × [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] F(a_{0}, a_{1}, [/mm] . . . , [mm] a_{n}, [/mm] x) := [mm] a_{n}x^{n} [/mm] + · · · + [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{0}.
[/mm]
Sei [mm] \overline{a} [/mm] = [mm] (\overline{a}_{0}, \overline{a}_{1}, [/mm] . . . , [mm] \overline{a}_{n}) \in \IR^{n+1} [/mm] und [mm] \overline{x} \in \IR [/mm] eine einfache Nullstelle des Polynoms
[mm] F(\overline{a}, [/mm] ·). Beweisen Sie:
Es gibt eine Umgebung U [mm] \subseteq \IR^{n+1} [/mm] von [mm] \overline{a} [/mm] und eine stetig differenzierbare Funktion
g : U [mm] \to \IR, g(\overline{a}) [/mm] = [mm] \overline{x}, [/mm] so dass F(a, g(a)) = 0 für alle a [mm] \in [/mm] U gilt. ("Satz über die Abhängigkeit der einfachen reellen Nullstellen eines Polynoms von den Koeffizienten"). |
Hallo!
??? Wie soll das gehen? Ich finde überhaupt keinen Ansatz.
Bitte helft mir! Schon mal im Voraus Danke.
Mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Antiprofi |
Hat keiner eine Idee wie man diese Aufgabe löst?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
es geht hier darum den Satz über implizite Funktionen anzuwenden. Schau am besten mal in eurer Vorlesung nach, wie ihr ihn formuliert habt, dann siehst du sofort, dass es genau um deine Problemstellung, mit der Funktion F(a(quer),.) geht. Das was du dann noch machen musst, ist die im Satz angesprochene Teilmatrix der Funktionalmatrix zu bestimmen und deren Invertierbarkeit zeigen.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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