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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Mi 30.04.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Sei C[0,1] versehen mit der Metrik [mm] d_{[0,1]}(f,g)=||f-g||_{[0,1]} [/mm] (f,g [mm] \in [/mm] C). Zeige, dass A={f [mm] \in [/mm] C[0,1] | f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] [0,1]} abgeschlossen ist und bestimme den Rand von A. |
Hallo!
z.z. ist dass A abgeschlossen in C[0,1] ist , d.h. ich zeige dass C[0,1] \ A offen in C[0,1] ist, oder? Dann müsste ich ja zeigen, dass für alle x [mm] \in [/mm] C[0,1] \ A ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert, so dass [mm] B_{\epsilon} [/mm] Teilmenge von C[0,1] \ A ist. Wie mache ich das?
Zum Rand würde ich spontan sagen, dass dort alle f mit f(x)=0 drin liegen. Allerdings fehlt mir der Beweis...
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Hiho,
erstmal: Was ist denn mit $||f - [mm] g||_{[0,1]}$ [/mm] gemeint? Ich vermute die Supremumsnorm auf [0,1] ?
> z.z. ist dass A abgeschlossen in C[0,1] ist , d.h. ich zeige dass C[0,1] \ A offen in C[0,1] ist, oder?
Das wäre eine Möglichkeit. Welche Charakterisierung von "abgeschlossen" kennst du noch?
> Dann müsste ich ja zeigen, dass für alle x [mm]\in[/mm] C[0,1] \ A ein [mm]\epsilon[/mm] > 0 existiert, so dass [mm]B_{\epsilon}[/mm] Teilmenge von C[0,1] \ A ist.
Genau.
> Wie mache ich das?
Na was ist denn C[0,1] \ A?
Wie sehen Funktionen aus, die darin liegen?
> Zum Rand würde ich spontan sagen, dass dort alle f mit f(x)=0 drin liegen. Allerdings fehlt mir der Beweis...
Den machen wir mal, wenn du die anderen Sachen bewiesen hast.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mi 30.04.2014 | | Autor: | rollroll |
> Hiho,
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> erstmal: Was ist denn mit [mm]||f - g||_{[0,1]}[/mm] gemeint? Ich
> vermute die Supremumsnorm auf [0,1] ?
Ja
> Das wäre eine Möglichkeit. Welche Charakterisierung von
> "abgeschlossen" kennst du noch?
Hier weiß ich ehrlich gesagt nicht genau, was du meinst...
>
> >
> > Na was ist denn C[0,1] \ A?
> Wie sehen Funktionen aus, die darin liegen?
Das sind doch dann alle Funktionen mit f(x)<0, oder?
Das hilft mir aber irgendwie noch nicht weiter, um das zu zeigen. Speziell wie ich dann zeige, dass es eine solche [mm] \epsilon [/mm] Kugel um x gibt, die Teilmenge von der Menge der Funktionen f(x)<0 ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Mi 30.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Hiho,
> >
> > erstmal: Was ist denn mit [mm]||f - g||_{[0,1]}[/mm] gemeint? Ich
> > vermute die Supremumsnorm auf [0,1] ?
> Ja
>
>
> > Das wäre eine Möglichkeit. Welche Charakterisierung von
> > "abgeschlossen" kennst du noch?
>
> Hier weiß ich ehrlich gesagt nicht genau, was du
> meinst...
Eine Teilmenge A eines normierten Raumes ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] für jede konvergente Folge in A gilt, dass auch ihr Grenzwert zu A gehört.
>
> >
> > >
>
> > > Na was ist denn C[0,1] \ A?
> > Wie sehen Funktionen aus, die darin liegen?
> Das sind doch dann alle Funktionen mit f(x)<0, oder?
Das ist nicht präzise !
Es gilt f [mm] \in [/mm] C[0,1] \ A [mm] \gdw [/mm] es gibt ein [mm] x_0 \in [/mm] [0,1] mit [mm] f(x_0)<0.
[/mm]
> Das hilft mir aber irgendwie noch nicht weiter, um das zu
> zeigen. Speziell wie ich dann zeige, dass es eine solche
> [mm]\epsilon[/mm] Kugel um x gibt, die Teilmenge von der Menge der
> Funktionen f(x)<0 ist
Oh, hier gehts aber durcheinander !
Sei f [mm] \in [/mm] C[0,1] [mm] \setminus [/mm] A. Dann haben wir:
es gibt ein [mm] x_0 \in [/mm] [0,1] mit [mm] f(x_0)<0
[/mm]
Setze [mm] \varepsilon:= -f(x_0) [/mm] und zeige:
ist g [mm] \in [/mm] C[0,1] und $ ||f - [mm] g||_{[0,1]} [/mm] < [mm] \varepsilon$, [/mm] so ist g [mm] \in [/mm] C[0,1] [mm] \setminus [/mm] A
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mi 30.04.2014 | | Autor: | rollroll |
Das hieße ja dann widerum dass ich zeigen muss, das es ein [mm]x_0 \in[/mm] [0,1] mit [mm]g(x_0)<0[/mm].
Bin ich dann nicht quasi wieder am Anfang meines Problems?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mi 30.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das hieße ja dann widerum dass ich zeigen muss, das es ein
> [mm]x_0 \in[/mm] [0,1] mit [mm]g(x_0)<0[/mm].
Ja, Du musst zeigen, dass es in [0,1] ein [mm] x_1 [/mm] gibt mit [mm] g(x_1)<0
[/mm]
>
> Bin ich dann nicht quasi wieder am Anfang meines Problems?
Hä ? Mit obigem hast Du gezeigt, dass c[0,1] \ A offen ist. Damit ist A abgeschlossen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mi 30.04.2014 | | Autor: | rollroll |
Achso ok. Und wie zeige ich dass es so ein [mm] x_1 [/mm] gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mi 30.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Achso ok. Und wie zeige ich dass es so ein [mm]x_1[/mm] gibt?
Geh doch mal strategisch vor und probiers mit [mm] x_1=x_0
[/mm]
Mit den Bez. von oben:
sei $ [mm] \varepsilon:= -f(x_0) [/mm] $
Sei g $ [mm] \in [/mm] $ C[0,1] und $ ||f - [mm] g||_{[0,1]} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $.
Dann ist
[mm] $g(x_0)-f(x_0) \le |g(x_0)-f(x_0)| \le [/mm] ||g - [mm] f||_{[0,1]}=||f [/mm] - [mm] g||_{[0,1]}< \varepsilon [/mm] $.
Jetzt Du !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Do 01.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Naja, dann ist [mm] g(x_0) [/mm] <0 und somit g [mm] \in C[0,1]\A. [/mm] Folgt dann schon die Behauptung? Falls ja, kannst du nochmal erklären, weshalb. Verstehe das noch nicht ganz...
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Hiho,
> Naja, dann ist [mm]g(x_0)[/mm] <0 und somit g [mm]\in C[0,1]\setminus A.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Folgt dann schon die Behauptung? Falls ja, kannst du nochmal erklären, weshalb. Verstehe das noch nicht ganz...
Ja! Für welche g hast du denn nun gezeigt, dass sie in [mm] $C[0,1]\setminus [/mm] A$ liegen?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Do 01.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Für alle g [mm] \in [/mm] [0,1], die in der Epsilon-Umgebung von f liegen?
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Hiho,
> Für alle g [mm]\in[/mm] [0,1], die in der Epsilon-Umgebung von f liegen?
Du solltest nochmal überprüfen, wo deine Funktionen g herkommen sollten (aus einem Intervall macht keinen Sinn!!), aber die Grundaussage stimmt.
Ergo hast du was gezeigt? Zu jedem f in [mm] $C[0,1]\setminus [/mm] A$.....
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Do 01.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Sorry, meinte auch g [mm] \in [/mm] C[0,1]. Zu jedem f in $ [mm] C[0,1]\setminus [/mm] A existiert ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 mit [mm] B_{\epsilon} [/mm] ist Teilmenge von C[0,1] [mm] \A.
[/mm]
Nun zum Rand:
[mm] \partial [/mm] A = {f [mm] \in [/mm] C[0,1] | f(x)=0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]}.
Dann ist nämlich [mm] U_{\epsilon} [/mm] (f) [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset [/mm] und [mm] U_{\epsilon} [/mm] (f) [mm] \cap (C[0,1]\A) \not= \emptyset [/mm] , weil {f [mm] \in C[0,1]\f(x)=0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]} [mm] \subseteq [/mm] C[0,1] ist.
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Hiho,
> Sorry, meinte auch g [mm]\in[/mm] C[0,1]. Zu jedem f in $
> [mm]C[0,1]\setminus[/mm] A existiert ein [mm]\epsilon[/mm] > 0 mit
> [mm]B_{\epsilon}[/mm] ist Teilmenge von C[0,1] [mm]\setminus A.[/mm]
Nur als Tipp: Das \ bekommst du hin mit \setminus.
Und damit ist [mm]C[0,1] \setminus \A[/mm] dann was?
> Nun zum Rand:
>
> [mm]\partial[/mm] A = [mm] $\{f \in C[0,1] | f(x)=0 \forall x \in [0,1]\}.$
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Dann ist nämlich [mm]U_{\epsilon}[/mm] (f) [mm]\cap[/mm] A [mm]\not= \emptyset[/mm] und [mm]U_{\epsilon}[/mm] (f) [mm]\cap (C[0,1]\A) \not= \emptyset[/mm]
> weil [mm] $\{f \in C[0,1]\f(x)=0 \forall x \in [0,1]\} [/mm] $ [mm]\subseteq[/mm] C[0,1] ist
Die Begründung ist Blödsinn.
Die von dir angegebene Menge ist nur eine Teilmenge des Rands. Deine Idee zu zeigen, dass der Schnitt mit A und dem Komplement jeweils nicht leer ist, ist schon ganz richtig. Nur es gibt eben noch eine noch größere Menge, die das auch erfüllt 
Tipp: Der Allquantor ist doch sehr mächtig.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Do 01.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Ich dachte der Tand besteht aus allen Funktionen f(x) mit f(x)=0 für ein x [mm] \in [/mm] [0,1]. Aber ich finde keine Menge die größer ist und auch den Rand beschreibt..
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Hiho,
> Ich dachte der Tand besteht aus allen Funktionen f(x) mit f(x)=0 für ein x [mm]\in[/mm] [0,1].
Da hast du eben aber etwas anderes geschrieben!
Und so stimmt die Aussage eben auch nicht.
Es sind alle Funktionen [mm] $f\in [/mm] A$ mit f(x)=0 für ein [mm] $x\in [/mm] [0,1]$.
Du hast aber was ganz anderes angegeben.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Do 01.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Also:
[mm] \partial [/mm] = {f [mm] \in [/mm] A| f(x)=0 für ein x [mm] \in [/mm] [0,1]}.
Denn:
[mm] U_{\epsilon}(f) \cap [/mm] A ungleich leere Menge und [mm] U_{\epsilon} [/mm] (f) [mm] \cap [/mm] C[0,1] [mm] \A [/mm] ungleich leere Menge.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Fr 02.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also:
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> [mm]\partial[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {f [mm]\in[/mm] A| f(x)=0 für ein x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0,1]}.
Du meinst sicher [mm]\partial A[/mm]
>
> Denn:
> [mm]U_{\epsilon}(f) \cap[/mm] A ungleich leere Menge und
> [mm]U_{\epsilon}[/mm] (f) [mm]\cap[/mm] C[0,1] [mm]\A[/mm] ungleich leere Menge.
Du hast ein Problem, nämlich Dein äußerst schlampiger Umgang mit Definitionen !
Es gilt: f [mm] \in \partial [/mm] A [mm] \gdw [/mm] für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt:
[mm] U_{\epsilon}(f) \cap [/mm] A [mm] \ne \emptyset [/mm] und [mm] U_{\epsilon}(f) \cap [/mm] (C[0,1] [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \ne \emptyset [/mm] .
Das Wort "jedes" ist ganz entscheidend !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 So 04.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Hallo.
Ich hab eine Frage zu dieser Aufgabe. Wieso muss es ein [mm] x_{0} \in [/mm] [0,1] geben mit [mm] f(x_{0}) [/mm] < 0? Kann es nicht sein, dass [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1] f(x)>0 gilt. Würde das die Abgeschlossenheit der Menge A zerstören?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 04.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Es war A definiert (!) als
[mm] A:=\{f \in C[0,1]:f(x) \ge 0 \quad fuer \quad alle \quad x \in [0,1] \}
[/mm]
Dann hatten wir für f [mm] \in [/mm] C[0,1]:
f [mm] \notin [/mm] A [mm] \gdw [/mm] es ex. [mm] x_0 \in [/mm] [0,1]: [mm] f(x_0)<0.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 So 04.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Erstmal Danke für deine Antwort.
Ich glaube ich habe mich nicht deutlich ausgedrückt. Was mir unklar ist, ist die Existenz dieses [mm] x_{0}.
[/mm]
Kann es nicht sein, dass f=A ist und somit kein f [mm] \not\in [/mm] A existiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:37 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal Danke für deine Antwort.
> Ich glaube ich habe mich nicht deutlich ausgedrückt. Was
> mir unklar ist, ist die Existenz dieses [mm]x_{0}.[/mm]
Wir haben f [mm] \in [/mm] C[0,1] \ A. Gäbe es ein solches [mm] x_0 [/mm] nicht, so hätten wir:
f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x, also f [mm] \in [/mm] A.
> Kann es nicht sein, dass f=A ist
Hä ? A ist eine Menge von Funktionen !!!
> und somit kein f [mm]\not\in[/mm]
> A existiert?
Setze f(x)=-x. f [mm]\not\in[/mm] A
FRED
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