www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Abgeschlossene Mengen
Abgeschlossene Mengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Abgeschlossene Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:19 Mi 30.03.2011
Autor: Nadia..

Aufgabe
Sei $I [mm] \subset [/mm] R $ein abgeschlossenes Intervall und $f: I [mm] \to [/mm] R $ stetig. Zeigen Sie, dass $Graph(f) [mm] :=\{(x,f(x)) \in R^2 | x \in I\}$ [/mm] abgeschlossen in [mm] $R^2$ [/mm] ist.

Beweis:


Sei I abgeschlossen,d.h $R$\ $I$  ist offen, d.h es existiert eine [mm] $B_\epsilon(x) \subset [/mm] R$\ I.
Nun da f stetig ist,gilt für alle $ x [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] I$

[mm] $B_\epsilon(f(x)) \subset [/mm] R $\ I.


Ich habe das Gefühl, dass ich was falsch mache.
Bevor ich den Beweis zu ende mache, würde ich geren wissen ob ich auf dem richtigen Weg bin .


Viele Grüße


Nadia

        
Bezug
Abgeschlossene Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:09 Mi 30.03.2011
Autor: fred97


> Sei [mm]I \subset R [/mm]ein abgeschlossenes Intervall und [mm]f: I \to R[/mm]
> stetig. Zeigen Sie, dass [mm]Graph(f) :=\{(x,f(x)) \in R^2 | x \in I\}[/mm]
> abgeschlossen in [mm]R^2[/mm] ist.
>  Beweis:
>  
>
> Sei I abgeschlossen,d.h [mm]R[/mm]\ [mm]I[/mm]  ist offen, d.h es existiert
> eine [mm]B_\epsilon(x) \subset R[/mm]\ I.


Schau Dir die Definitionen nochmal an und verinnerliche sie, sonst wird das nix !


1. G [mm] \subset \IR^n [/mm] ist offen  [mm] \gdw [/mm]  zu jedem x [mm] \in [/mm] G ex. ein [mm] \varepsilon= \varepsilon(x)>0 [/mm] mit: [mm] B_\varepsilon(x) \subseteq [/mm] G.

2. F [mm] \subseteq \IR^n [/mm] ist abgeschlossen   [mm] \gdw \IR^n [/mm]  \  F ist offen.

Es gilt für  F [mm] \subseteq \IR^n [/mm]  (das hattet Ihr sicher):

(*)   F ist abgeschlossen  [mm] \gdw [/mm] für jede konvergente Folge [mm] (a_n) [/mm] in F ist auch lim [mm] a_n \in [/mm] F.


> Nun da f stetig ist,gilt für alle [mm]x \in R \setminus I[/mm]
>  
> [mm]B_\epsilon(f(x)) \subset R [/mm]\ I.
>  
>
> Ich habe das Gefühl, dass ich was falsch mache.


Ja, obiges ist Quark !

Versuche die Aufgabe mit (*) zu erledigen:  Sei also [mm] ((x_n, f(x_n)) [/mm] eine konvergente Folge in Graph(f).

1. Warum ist [mm] (x_n) [/mm] konvergent ?

2. Ist [mm] x_0 [/mm] der Grenzwert von ( [mm] x_n), [/mm] warum gilt dann [mm] x_0 \in [/mm] I   ?

3. Warum ist [mm] (f(x_n)) [/mm] konvergent ?

4. Warum gilt [mm] f(x_n) \to f(x_0) [/mm]  ?

Siehst Du nun, wie Du zu lim [mm] (x_n, f(x_n) \in [/mm] Graph(f) kommst ?

FRED


>  Bevor ich den Beweis zu ende mache, würde ich geren
> wissen ob ich auf dem richtigen Weg bin .
>  
>
> Viele Grüße
>  
>
> Nadia


Bezug
                
Bezug
Abgeschlossene Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:44 Mi 30.03.2011
Autor: Nadia..

genau das habe ich in meiner Vorlesung nicht gefunden* (F ist abgeschlossen  $ [mm] \gdw [/mm] $ für jede konvergente Folge $ [mm] (a_n) [/mm] $ in F ist auch lim $ [mm] a_n \in [/mm] $ F).


Jetzt wird das ganze einfacher :)

Also,

Sei also $ [mm] ((x_n, f(x_n)) [/mm] $ eine konvergente Folge in Graph(f)

Da $I$  abgeschlossen, folgt mit  (*) [mm] $(x_n \to x_0) \in [/mm] I $,

da f stetig ist [mm] $\Rightarrow f(x_n) \to f(x_0) [/mm]  $ also ist [mm] $f(x_n) \in [/mm] R$ konvergent.

Dies liefert  [mm] $((x_n, f(x_n)) \to ((x_0, f(x_0))) \in [/mm] Graphf $, wobei [mm] $x_n \in [/mm] (I)$


Ich habe das Gefühl, etwas vergessen zu haben :)


Lg
Nadia



Bezug
                        
Bezug
Abgeschlossene Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Mi 30.03.2011
Autor: fred97


> genau das habe ich in meiner Vorlesung nicht gefunden* (F
> ist abgeschlossen  [mm]\gdw[/mm] für jede konvergente Folge [mm](a_n)[/mm]
> in F ist auch lim [mm]a_n \in[/mm] F).
>  
>
> Jetzt wird das ganze einfacher :)
>  
> Also,
>  
> Sei also [mm]((x_n, f(x_n))[/mm] eine konvergente Folge in Graph(f)


Dann folgt, dass [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (f(x_n)) [/mm] konvergente Folgen sind.


>
> Da [mm]I[/mm]  abgeschlossen, folgt mit  (*) [mm](x_n \to x_0) \in I [/mm],

Das ist komisch formuliert. Besser: da I abgeschlossen ist, ist [mm] x_0 \in [/mm] I.

>  
> da f stetig ist [mm]\Rightarrow f(x_n) \to f(x_0) [/mm] also ist
> [mm]f(x_n) \in R[/mm] konvergent.
>
> Dies liefert  [mm]((x_n, f(x_n)) \to ((x_0, f(x_0))) \in Graphf [/mm],
> wobei [mm]x_n \in (I)[/mm]
>  
>
> Ich habe das Gefühl, etwas vergessen zu haben :)

Der Rest war O.K.
FRED

>  
>
> Lg
>  Nadia
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Abgeschlossene Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 Mi 30.03.2011
Autor: Nadia..

Vielen dank!!!



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]