Abgeschlossene Menge ? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Di 17.05.2005 | | Autor: | w-taler |
Hallo!
Meine Aufgabe lautet: Für welche a > 0 ist die Menge
{ [mm] x\in \IR :\exists n\in \IN x\in[\bruch{1}{a^n^+^1},\bruch{1}{a^n^-^1}] [/mm] } abgeschlossen?
Ich habe eine Fallunterscheidung gemacht (Tip des Tutors):
1. Fall: a=1 => Menge = {1} und sie ist abgeschlossen !?
2. Fall: a>1 => Menge = { [mm] x\in \IR :\exists n\in \IN x\in [/mm] ]0,a] }
0 ist INtervallgrenze für n -> unendlich und a ist Intervallgrenze für n=0.
a ist dann ja ein Randpunkt (oder?) und dann kann es doch keine offene Menge sein!?
Meiner Meinung nach ist a der einzige Randpunkt von M und die abgeschlossene Hülle von M müßte gleich M sein => auch für a>1 ist die Menge abgeschlossen.
Aber warum sollte ich dann eine Fallunterscheidung machen? Mich verwirrt das ein bisschen und da es die erste Aufgabe dieser Art ist, die ich rechne schließe ich grobe Fehler meinerseits nicht aus.
Danke und viele Grüße W-taler
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Ich habe eine Fallunterscheidung gemacht (Tip des Tutors):
> 1. Fall: a=1 => Menge = {1} und sie ist abgeschlossen !?
Das sieht gut aus!
> 2. Fall: a>1 => Menge = [mm]\{x\in \IR :\exists n\in \IN x\in
> ]0,a] \}[/mm]
> 0 ist INtervallgrenze für n -> unendlich und a ist
> Intervallgrenze für n=0.
> a ist dann ja ein Randpunkt (oder?) und dann kann es doch
> keine offene Menge sein!?
So ist es!
> Meiner Meinung nach ist a der einzige Randpunkt von M und
> die abgeschlossene Hülle von M müßte gleich M sein => auch
> für a>1 ist die Menge abgeschlossen.
Aber was ist mit 0? Konvergiert die Folge [mm] $\bruch{1}{a^{n+1}}$? [/mm] Denn wäre die Menge abgeschlossen, müsste auch der Limes dieser Folge in der Menge liegen...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Di 17.05.2005 | | Autor: | w-taler |
Hallo Banachella!
Erst mal danke für deine Antwort. Leider habe ich die Formel falsch geschrieben. Ich habe sie nun verbessert.
MfG w-taler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Di 17.05.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo!
Ich habe meine Antwort gerade an deine korrigierte Aufgabenstellung angepasst. Kommst du damit weiter?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Di 17.05.2005 | | Autor: | w-taler |
Hallo!
Also wenn ich das richtig sehe, ist Null auch ein Randpunkt (da [mm] \bruch{1}{a^n^+^1} [/mm] gegen Null konvergiert). Deshalb ist die abgeschlossene Hülle von M [mm] \not= [/mm] M
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Di 17.05.2005 | | Autor: | banachella |
Genau! So isses! Deshalb wird die Menge sich schwer tun, abgeschlossen zu sein...
Aber was ist jetzt mit $a<1$?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Sa 21.05.2005 | | Autor: | w-taler |
Hallo Banachella!
Sorry das ich so spät reagiere.
Habe die Aufgabe fertig. Danke für deine Hilfe.
Gruß w-taler
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