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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Mo 08.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeige dass die orthogonale Gruppe abgeschlossen ist
[mm] O_N [/mm] = [mm] \{ A \in M_{n \times n } (\IR) : A^t A=I_n \} [/mm] |
Sei [mm] (A_k) \in O_n [/mm] eine Folge von Matrizen, die gegen A konvergiert: [mm] A_k [/mm] -> A [mm] \in M_{n \times n } (\IR) [/mm] (k-> [mm] \infty)
[/mm]
d.h. [mm] \forall [/mm] i,j [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] gilt [mm] (a_k)_{ij} [/mm] -> [mm] a_{ij} (k->\infty)
[/mm]
ZZ.: A [mm] \in O_N
[/mm]
<=> [mm] A_k^t [/mm] -> [mm] A^t [/mm] (k-> [mm] \infty) [/mm] wüsste ich aber leider nicht wie ich das beweisen kann??
Ich weiß [mm] I_n [/mm] -> [mm] I_n (k->\infty) [/mm] da konstante Folge.
Wie gehts weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Zeige dass die orthogonale Gruppe abgeschlossen ist
> [mm]O_N[/mm] = [mm]\{ A \in M_{n \times n } (\IR) : A^t A=I_n \}[/mm]
> Sei
> [mm](A_k) \in O_n[/mm] eine Folge von Matrizen, die gegen A
> konvergiert: [mm]A_k[/mm] -> A [mm]\in M_{n \times n } (\IR)[/mm] (k->
> [mm]\infty)[/mm]
> d.h. [mm]\forall[/mm] i,j [mm]\in \{1,..,n\}[/mm] gilt [mm](a_k)_{ij}[/mm] -> [mm]a_{ij} (k->\infty)[/mm]
>
> ZZ.: A [mm]\in O_N[/mm]
>
> <=> [mm]A_k^t[/mm] -> [mm]A^t[/mm] (k-> [mm]\infty)[/mm] wüsste ich aber leider nicht
> wie ich das beweisen kann??
was nun? Wenn [mm] $A_k \to A\,,$ [/mm] so folgt, dass [mm] $(a_k)_{ij}$ [/mm] (das ist wohl
der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von [mm] $A_k$ [/mm] - oder?) gegen
[mm] $(a)_{ij}$ [/mm] strebt bei $k [mm] \to \infty\,.$ [/mm]
Daraus folgt doch unmittelbar
[mm] $$A_k^t \to A^t\,.$$
[/mm]
(Es ist doch, wenn [mm] $(a^t)_{ij}$ [/mm] den Eintrag der Matrix [mm] $A^t$ [/mm] in der i-ten
Zeile und j-ten Spalte bezeichnet, und [mm] $(a)_{ij}$ [/mm] eben den Eintrag der
Matrix [mm] $A\,$ [/mm] in der i-ten Zeile und j-ten Spalte, einfach [mm] $(a^t)_{ij}=(a)_{ji}\,$ [/mm]
- analoges für die [mm] $A_k^t$ [/mm] und [mm] $A_k\,.$)
[/mm]
Wenn Du zeigen/begründen kannst: Sind [mm] $A_k \in M_{m \times n}(\IR)$
[/mm]
und [mm] $B_k \in M_{n \times p}(\IR)$ [/mm] mit [mm] $A_k \to [/mm] A$ und [mm] $B_k \to [/mm] B$ [mm] ($A\,$
[/mm]
von der Bauart wie die [mm] $A_k\,,$ [/mm] also $A [mm] \in M_{m \times n}(\IR)\,,$ [/mm] analog
[mm] $B\,$ [/mm] von der Bauart wie die [mm] $B_k$) [/mm] - so folgt
[mm] $$A_k [/mm] * [mm] B_k \to [/mm] A*B [mm] \in M_{m \times p}(\IR)\,.$$ [/mm]
Beweise das mal: Da brauchst Du ja eigentlich nur die Rechenregeln für
in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente reellwertige Folgen: Endliche Summen konvergenter
Folgen konvergieren gegen..., endliche Produkte konvergenter Folgen
konvergieren...
Hier ist nur (etwa) der "Matrixeintrag" [mm] $(A*B)_{ij}$ [/mm] ($1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le n\,,$ [/mm]
$1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] p$) ein wenig unschöner hinzuschreiben, was an der Definition
des Matrixproduktes liegt.
Wenn Du das hast, dann weißt Du:
[mm] $$A_k \to [/mm] A$$
liefert auch direkt (siehe oben) [mm] $A_k^t \to A_k$ [/mm] und somit folgt
[mm] $$A^t*A=\lim_{k \to \infty}(A_k^t*A_k)\,.$$
[/mm]
Eigentlich bist Du fertig, denn wegen [mm] $A_k \in O_N$ [/mm] kann man rechterhand
schreiben: ...?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mo 08.10.2012 | | Autor: | sissile |
danke ;) passt
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