Abelsche Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:44 Do 05.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Man soll zeigen, dass für eine endliche abelsche Gruppe G ein $k [mm] \in \IN$ [/mm] existiert mit:
[mm] G = \produkt_{i=1}^k {U_i} [/mm]
mit [mm] U_i = \left< a_i \right> [/mm] und eindeutigen natürlichen Zahlen [mm] $ord(a_i)$ [/mm] mit [mm] $ord(a_1) [/mm] | [mm] ord(a_2) [/mm] | ... | ord [mm] (a_k)$.
[/mm]
Also irgendwie muss man zeigen, dass G als Produkt zyklischer Gruppen entsteht, wenn G abelsch und endlich ist.
Kann man das irgendwie über Isomorphie zyklischer Gruppen zur Symmetriegruppe machen? Weil dort gilt doch, dass jede Permutation ein Produkt von endlich vielen eindeutigen 2-Zykeln ist. Und was mache ich mit der Teilungsrelation? Oo
Danke schonmal,
Gruß Micha 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Das ist der Struktursatz für endliche abelsche Gruppen (allgemeiner: endlich erzeugte abelsche Gruppen). Du findest ihn garantiert in jedem (fast jedem) Algebra-I-Skript im Internet, zum Beispiel hier auf Seite 22/23 in der skriptinternen Zählung.
Der konkrete Beweis wird über Induktion geführt. Wie der Beweis genau aussieht. hängt davon ab, welche Sätze ihr in der Vorlesung schon bewiesen habt. Wenn du mit dem Beweis nicht zurechtkommst, suche mal hier in den anderen Algebra-Skripten.
Du kannst dich ja mal melden, wenn du einen schönen verständlichen Beweis dazu gefunden hast und auf ihn hier verlinken, für andere Interessierte. Okay? 
Mehr kann ich leider nicht für dich tun, denn ich könnte den Beweis ja auch nur abtippen, ohne genau zu wissen, was ihr in der Vorlesung gemacht habt. Doch dafür ist der Beweis einfach zu mühsam...
Liebe Grüße
Stefan
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