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Abelsche Gruppe: Aufgabe - Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Do 19.11.2009
Autor: Goth

Aufgabe
Sei (G, ·) eine Gruppe mit 3 Elementen. Zeigen Sie: G ist abelsch.

Wie genau kann man das zeigen?
Offensichtlich muss man zeigen, dass die Multiplikationen der Elemente nicht aus der Gruppe führen, aber es scheitert daran, welche "Fälle" genau untersucht werden müssen.
Bisher habe ich das:
a*e=a,
b*e=b,
c*e=c,
a^-1*e=a^-1,
b^-1*e=b^-1,
c^-1*e=c^-1,
a*a^-1=a^-1*a,
b*b^-1=b^-1*b,
c*c^-1=c^-1*c.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Do 19.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Sei (G, ·) eine Gruppe mit 3 Elementen. Zeigen Sie: G ist
> abelsch.
>  Wie genau kann man das zeigen?

Hallo,

da es eine Gruppe sein soll, ist ja eins der Elemente gewiß das neutrale, ich nenne es e.
Wir haben also [mm] G=\{e,a,b\}. [/mm]

Nun stell die Gruppentafel auf:

[mm] \pmat{\underline{\circ}|&\underline{e}&\underline{a}&\underline{b}\\e|&e& a&b\\a|&...& ...&...\\b|&...& ...&...} [/mm]

Überlege Dir, daß in jeder Zeile und Spalte jedes Element nur einmal stehen darf.
Betrachte nach dme Ausfüllen der tafel ihre Symmetrie.

Gruß v. Angela



Bezug
                
Bezug
Abelsche Gruppe: Gruppentafel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:51 Sa 21.11.2009
Autor: Goth

Aufgabe
$ [mm] \pmat{ o & e & a & b \\e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b & e & a } [/mm] $



Das ist dann symmetrisch bzgl. der Diagonalen und deswegen abelsch?
(ae=a=ea, be=b=eb, ab=e=ba)
Würde das als ein "Zeigen Sie, dass..." reichen?

Bezug
                        
Bezug
Abelsche Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 Sa 21.11.2009
Autor: angela.h.b.


> [mm]\pmat{ o & e & a & b \\e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b & e & a }[/mm]
>  
>
> Das ist dann symmetrisch bzgl. der Diagonalen und deswegen
> abelsch?
>  (ae=a=ea, be=b=eb, ab=e=ba)
>  Würde das als ein "Zeigen Sie, dass..." reichen?

Hallo,

zusammen mit der Begründung dafür, daß die gruppentafel gar nicht anders aussehen kann: ja.

Gruß v. Angela


Bezug
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