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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Di 01.02.2005 | | Autor: | manxx |
Hallo,
brauche dringend hilfe bei den folgenden 2 aufgaben:
Die lineare Abb. f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] habe bzgl. der Basis
B={ [mm] \vektor{1 \\ -1},\vektor{-3 \\ 2} [/mm] }
die Abbildungsmatrix
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & -2 }
[/mm]
Frage 1: Der Vektor x habe bzgl. der Standardbasis die Darstellung
[mm] x=\vektor{1 \\ 1}. [/mm] Bestimmen Sie die Koordinaten von f(x) bzgl. der Standardbasis.
Frage 2: Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix B von f bzgl. der Standardbasis.
Viele Grüße,
Manxx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Nam |
Hi Manxx,
zu 1: rechne [mm]x = \vektor{1 \\ -1} = 1 \vektor{1 \\ 0} - 1 \vektor{0 \\ 1}[/mm] in die Darstellung bzgl. der Basis B um.
Dazu musst du das lineare Gleichungssystem
[mm]\pmat{1 & -3 \\ -1 & 2} \vektor{x_1 \\ x_2} = \vektor{1 \\ -1} = x[/mm] lösen.
Der Vektor [mm]\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] ist dann der Vektor x bzgl. der Basis B und du kannst [mm]f(x)[/mm] ausrechnen, indem du das Produkt [mm]A * \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] ausrechnest.
zu 2: Führe eine Basistransformation von B nach [mm]\varepsilon[/mm] durch, wobei [mm]\varepsilon = \{ \vektor{1 \\ 0} , \vektor{0 \\ 1} \}[/mm] die Standardbasis ist. Multipliziere dazu an die Matrix [mm]A[/mm] von links (Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ!) die Matrixdarstellung der ID-Abbildung bzgl. der Basen B und [mm]\varepsilon[/mm] und von rechts das inverse der eben genannten Matrixdarstellung:
[mm]M_{\varepsilon,\varepsilon}[f] = M_{\varepsilon,B}[id] * A * (M_{\varepsilon,B}[id])^{-1}[/mm], wobei
[mm]M_{\varepsilon,B}[id] = \pmat{1 & -3 \\ -1 & 2}[/mm], denn [mm]id(\vektor{1 \\ -1}) = \vektor{1 \\ -1} = 1 \vektor{1 \\ 0} - 1 \vektor{0 \\ 1}[/mm] und [mm]id(\vektor{-3 \\ 2}) = \vektor{-3 \\ 2} = -3 \vektor{1 \\ 0} + 2 \vektor{0 \\ 1}[/mm]
Diese Matrix musst du jetzt noch invertieren und dann kannst du das Produkt der drei Matrizen ausrechnen.
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