Abbildungsmatrix singulär < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mo 02.08.2010 | | Autor: | krekru |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
im Grunde quält mich nur eine Frage :
ich habe eine abbildung vom [mm] R^4 [/mm] -> [mm] R^4 [/mm] .
meine abbildungsmatrix sieht so aus:
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 -1 1
0 0 1 -1
sie ist doch singulär,weil sich die letzten beiden spalten auslöschen,sprich eine verschwindet ?... es ist schon spät und ich überseh wohl irgendwas... aber... falls sie singulär ist: hat sie dann eine spalte oder eine zeile weniger?
ich komme da noch etwas durcheinander... denn wenn sie ien spalte weniger hat, ist sie nicht injektiv,wenn sie eine zeile weniger hat ist sie nicht surjektiv...
bitte klärt mich auf,falls ihr mein müdes kauderwelsch versteht...
lg aus hamburg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Mo 02.08.2010 | | Autor: | krekru |
nun habe ich folgendes gefunden:
Ranf (M ) = dim(Bild(M))
damit kann ich insoweit was anfangen weil ich weiss, dass die dimension des bildes die zeilenzahl m ist. bzw ,falls sie eine zeile weniger hat,da singulär eben Rang (M) = m-1...
nun bin ich aber verwirrter als vorher... es heisst doch ,dass eine abbildung folgende eigenschaften hat:
rangt (M) = n = anzahl spalten = > injektiv
rang(M) = m = anzahl zeilen = > surjektiv
wie kann eine abbildungsmatrix nun überhaupt eine spalte weniger haben, wenn der rang sich doch über obige gleichung definiert ? :(?
bin SEHR durcheinander.... kann mich jemand ordnen? :/
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Huhu,
eigentlich ist es ganz einfach, es gilt:
Rang = Zeilenrang = Spaltenrang
Wobei der Zeilenrang die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen und der Spaltenrang die Anzahl der linear unabhängigen Spalten ist. Diese Anzahl ist immer identisch und heißt "Rang der Matrix".
Eine Matrix hat vollen Zeilenrang, wenn Anzahl der Zeilen = Zeilenrang analog hat sie vollen Spaltenrang, wenn Anzahl der Spalten = Spaltenrang.
Eine Matrix hat vollen Rang, wenn sie vollen Zeilenrang UND vollen Spaltenrang hat.
Eine Matrix heißt nun singulär, wenn sie NICHT den vollen Rang hat.
Insbesondere heißt das also, dass eine NICHT quadratische Matrix NIE vollen Rang haben kann und damit IMMER singulär ist.
Später kommt noch hinzu, dass eine Singuläre Matrix eine Determinante gleich Null hat, das kann man dann mit allem obigen auch noch verbinden.
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Di 03.08.2010 | | Autor: | krekru |
hey=)
gut,soweit "klar"
nun habe ich aber ein abbildungsmatrix :
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} [/mm]
vllt steckt mein kopf irgendwie fest,aber ich hab ein problem mit dem vorgehen bei abbildungsmatrizen =)
da gibt es eine nullspalte und zeile...
dh ich streiche beide und habe eine 3x3 matrix...
und die abbildungsmatrix ist demnach nunsingulär oder regulär ?
oder streiche ich die bei abbildungsmatrizen garnicht ? das würde für mich mehr sinn machen, denn sonst könnt ich ja mit 4x1 vektoren nicht mehr multiplizieren ...
im grunde ist klar,wann eine matrix singulär und regulär ist..aber gerade steh ich etwas auf dem schlauch:)
also zum schluss: ich würde sagen ich streiche nicht,sie ist singulär und ich führe ganz normal alle matrix vektor operationen mit dieser matrix oben aus, ungeachtet ihrer nullspalte etc....:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Di 03.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> hey=)
>
> gut,soweit "klar"
>
> nun habe ich aber ein abbildungsmatrix :
>
> [mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} [/mm]
>
> vllt steckt mein kopf irgendwie fest,aber ich hab ein
> problem mit dem vorgehen bei abbildungsmatrizen =)
> da gibt es eine nullspalte und zeile...
> dh ich streiche beide
> Warum ? wozu ? mit welcher Berechtigung ?
und habe eine 3x3 matrix...
> und die abbildungsmatrix ist demnach nunsingulär oder
> regulär ?
Dies Matrix
$ [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} [/mm] $
ist singulär.
> oder streiche ich die bei abbildungsmatrizen garnicht ?
nein, da streicht man nichts. Grün streichen ist auch nicht sinnvoll
> das würde für mich mehr sinn machen, denn sonst könnt
> ich ja mit 4x1 vektoren nicht mehr multiplizieren ...
>
> im grunde ist klar,wann eine matrix singulär und regulär
> ist..aber gerade steh ich etwas auf dem schlauch:)
>
> also zum schluss: ich würde sagen ich streiche nicht,sie
> ist singulär und ich führe ganz normal alle matrix vektor
> operationen mit dieser matrix oben aus, ungeachtet ihrer
> nullspalte etc....:)
Das ist eine gute idee
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Di 03.08.2010 | | Autor: | krekru |
danke:) alles klar....
konnte nun alle aufgaben lösen=)
lg krekru
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