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| Aufgabe | Gesucht sind die Abbildungsmatrizen für folgende lineare Abbildungen $f: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR^2$
[/mm]
c) Spiegelung an der Geraden $y = [mm] -\frac{1}{2}x$
[/mm]
f) Projektion parallel zur Winkelhalbierenden $y = x$ auf die y-Achse |
Hallo zusammen,
diesmal eine Frage zu linearen Abbildungen. Bei Aufgabenteil c habe ich einen Ansatz, den ich hier anfüge, bei f bin ich jedoch ratlos.
c)
Ich wähle einen Punkt [mm] $P(x_0|y_0)$.
[/mm]
Eine orthogonale Gerade zu $y = [mm] -\frac{1}{2}x$ [/mm] durch den Punkt P ist: [mm] $y=2(x-x_0)+y_0$.
[/mm]
Nun bestimme ich den Schnittpunkt beider Geraden:
[mm] $-\frac{1}{2}x [/mm] = [mm] 2(x-x_0)+y_0$ [/mm] => $x = [mm] \frac{4}{5}x_0 [/mm] - [mm] \frac{2}{5}y_0$
[/mm]
Nun setze ich die Stelle des Schnittpunktes in $y = [mm] -\frac{1}{2}x$ [/mm] ein und erhalte für $y = [mm] -\frac{2}{5}x_0 [/mm] + [mm] \frac{1}{5}y_0$.
[/mm]
=> [mm] $S\left(\frac{4}{5}x_0 - \frac{2}{5}y_0 | -\frac{2}{5}x_0 + \frac{1}{5}y_0\right)
[/mm]
Der Spiegelpunkt [mm] $P'(x_0 [/mm] ' | [mm] y_0 [/mm] ')$ lässt sich durch Addition von $2 [mm] \cdot \vec{P_0S}$ [/mm] von P aus erreichen.
=> $2 [mm] \cdot \vec{P_0S} [/mm] = [mm] \vektor{-\frac{2}{5}x_0 - \frac{4}{5}y_0 \\ -\frac{4}{5}x_0 - \frac{8}{5}y_0}$
[/mm]
=> [mm] $x_0 [/mm] ' = [mm] -\frac{2}{5}x_0 [/mm] - [mm] \frac{4}{5}y_0$ [/mm] und [mm] $y_0 [/mm] ' = [mm] -\frac{4}{5}x_0 [/mm] - [mm] \frac{8}{5}y_0$
[/mm]
=> $A = [mm] \pmat{ -\frac{2}{5} & - \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & - \frac{8}{5} }$
[/mm]
=> Die Lösung hat hierzu was anderes => $A = [mm] \pmat{ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & - \frac{3}{5} }$
[/mm]
Ist meine Lösung oder die des Lösungsbuchs falsch und wenn es meine betrifft - warum?
Edit: Ich glaube ich habe die Lösung, meine ist falsch, weil ich noch den Ausgangspunkt P zu den Abbildungsgleichungen addieren muss oder?
f) ähnlicher Aufbau bloß wird die Gerade durch P mit der Steigung m = 1 bearbeitet
Würde mich über Feedback freuen.
Grüße
Joe
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Hallo JoeSunnex,
> Gesucht sind die Abbildungsmatrizen für folgende lineare
> Abbildungen [mm]f: \IR^2 \rightarrow \IR^2[/mm]
>
> c) Spiegelung an der Geraden [mm]y = -\frac{1}{2}x[/mm]
> f)
> Projektion parallel zur Winkelhalbierenden [mm]y = x[/mm] auf die
> y-Achse
>
> Hallo zusammen,
>
> diesmal eine Frage zu linearen Abbildungen. Bei
> Aufgabenteil c habe ich einen Ansatz, den ich hier anfüge,
> bei f bin ich jedoch ratlos.
>
> c)
>
> Ich wähle einen Punkt [mm]P(x_0|y_0)[/mm].
> Eine orthogonale Gerade zu [mm]y = -\frac{1}{2}x[/mm] durch den
> Punkt P ist: [mm]y=2(x-x_0)+y_0[/mm].
>
> Nun bestimme ich den Schnittpunkt beider Geraden:
>
> [mm]-\frac{1}{2}x = 2(x-x_0)+y_0[/mm] => [mm]x = \frac{4}{5}x_0 - \frac{2}{5}y_0[/mm]
>
> Nun setze ich die Stelle des Schnittpunktes in [mm]y = -\frac{1}{2}x[/mm]
> ein und erhalte für [mm]y = -\frac{2}{5}x_0 + \frac{1}{5}y_0[/mm].
>
> => [mm]$S\left(\frac{4}{5}x_0 - \frac{2}{5}y_0 | -\frac{2}{5}x_0 + \frac{1}{5}y_0\right)[/mm]
>
> Der Spiegelpunkt [mm]P'(x_0 ' | y_0 ')[/mm] lässt sich durch
> Addition von [mm]2 \cdot \vec{P_0S}[/mm] von P aus erreichen.
> => [mm]2 \cdot \vec{P_0S} = \vektor{-\frac{2}{5}x_0 - \frac{4}{5}y_0 \\ -\frac{4}{5}x_0 - \frac{8}{5}y_0}[/mm]
>
> => [mm]x_0 ' = -\frac{2}{5}x_0 - \frac{4}{5}y_0[/mm] und [mm]y_0 ' = -\frac{4}{5}x_0 - \frac{8}{5}y_0[/mm]
>
> => [mm]A = \pmat{ -\frac{2}{5} & - \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & - \frac{8}{5} }[/mm]
>
> => Die Lösung hat hierzu was anderes => [mm]A = \pmat{ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & - \frac{3}{5} }[/mm]
>
> Ist meine Lösung oder die des Lösungsbuchs falsch und
> wenn es meine betrifft - warum?
Berechnet hast Du nur diejenige Abbildungsmatrix,
die angibt, um wieviel der Ausgangspunkt zu verschieben
ist, um den Spiegelpunkt zu erhalten.
>
> Edit: Ich glaube ich habe die Lösung, meine ist falsch,
> weil ich noch den Ausgangspunkt P zu den
> Abbildungsgleichungen addieren muss oder?
>
Ja, das ist richtig.
> f) ähnlicher Aufbau bloß wird die Gerade durch P mit der
> Steigung m = 1 bearbeitet
>
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> Würde mich über Feedback freuen.
>
> Grüße
>
> Joe
Gruss
MathePower
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Schon mal danke MathePower, ich dachte mir, dass dieser Fehler vorliegt :)
also f)
Ausgangspunkt: [mm] $P(x_0 [/mm] | [mm] y_0)$
[/mm]
Gesucht wird Gerade durch P und parallel zu $y = x$
=> $m = 1$
=> $b= [mm] -x_0 [/mm] + [mm] y_0$
[/mm]
=> $y = x - [mm] x_0 [/mm] + [mm] y_0$
[/mm]
Schnittpunkt mit y-Achse => $x = 0$
=> $y = [mm] -x_0 [/mm] + [mm] y_0$
[/mm]
=> [mm] $S_y(0 [/mm] | [mm] -x_0 [/mm] + [mm] y_0)$
[/mm]
=> [mm] $x_0 [/mm] ' = 0$
=> [mm] $y_0' [/mm] = [mm] -x_0 [/mm] + [mm] y_0$
[/mm]
=> $A = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ -1 & 1 }$
[/mm]
Ich glaube so langsam habe ich das Konzept verstanden :)
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Hallo JoeSunnex,
> Schon mal danke MathePower, ich dachte mir, dass dieser
> Fehler vorliegt :)
>
> also f)
>
> Ausgangspunkt: [mm]P(x_0 | y_0)[/mm]
>
> Gesucht wird Gerade durch P und parallel zu [mm]y = x[/mm]
> => [mm]m = 1[/mm]
> => [mm]b= -x_0 + y_0[/mm]
> => [mm]y = x - x_0 + y_0[/mm]
>
> Schnittpunkt mit y-Achse => [mm]x = 0[/mm]
> => [mm]y = -x_0 + y_0[/mm]
> =>
> [mm]S_y(0 | -x_0 + y_0)[/mm]
>
> => [mm]x_0 ' = 0[/mm]
> => [mm]y_0' = -x_0 + y_0[/mm]
>
> => [mm]A = \pmat{ 0 & 0 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich glaube so langsam habe ich das Konzept verstanden :)
Gruss
MathePower
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