Abbildungsmatrix bzgl. Basis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei A: [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] durch A(x,y,z)=(x+2y+z,-x+2z).
Geben Sie die Abbildungsmatrix zu A bezüglich der Basen
[mm] \{ \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } , \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 } , \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } \} [/mm] und [mm] \{ \pmat{ 1 \\ 1 } , \pmat{ 2 \\ 1 } \}
[/mm]
an.
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Hallo ihr Lieben,
ich hab mal wieder eine Frage.
Bei mir hängts iwie.
Und zwar:
[mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] wird durch A zu [mm] \pmat{ 3 \\ -1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 } [/mm] wird durch A zu [mm] \pmat{ 3 \\ 2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] wird durch A zu [mm] \pmat{ 2 \\ 1 }
[/mm]
Wenn ich jetzt eine Addildungmatrix mit diesen Vektoren Multipliziere muss ja das Gleiche rauskommen. Wie soll ich denn dann eine Matrix angeben, die diese Vektoren durch Multiplikation damit zu
[mm] \{ \pmat{ 1 \\ 1 } , \pmat{ 2 \\ 1 } \}
[/mm]
macht?
Hab schon angefangen mit:
[mm] A(\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 })=\pmat{ 3 \\ -1 }=4*\pmat{ 2 \\ 1 }+(-5)*\pmat{ 1 \\ 1 }
[/mm]
Aber irgendwie weiß ich ab jetzt nicht weiter.
Ich bedank mich schonmal bei euch!
lg
Hab die Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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Hallo,
wie Du anfängst, nämlich mit dem Ausrechnen der Funktionswerte, ist sinnvoll.
Prüfe aber mal die Funktionsvorschrift. Mich irritiert der Vektor (y,x,z): ist das Absicht, oder soll da (x,y,z ) stehen.
Weiter ist mir unklar, wie Du zu Deinen Funktionswerten kommst - aber möglicher weise gibt#s in der Aufgabe Tippfehler.
Vorgehensweise:
Funktionswerte zu den drei Basisvektoren aufschreiben und diese als Linearkombination von [mm] \{ \pmat{ 1 \\ 1 } , \pmat{ 2 \\ 1 } \} [/mm] darstellen.
Damit ist die Hauptarbeit getan, ich helfe Dir dann weiter.
Gruß v. Angela
> Es sei A: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] durch A(y,x,z)=(x+2y+z,-x+2z).
>
> Geben Sie die Abbildungsmatrix von [mm]\IA[/mm] bezüglich der Basen
>
> [mm]\{ \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } , \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 } , \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } \}[/mm]
> und [mm]\{ \pmat{ 1 \\ 1 } , \pmat{ 2 \\ 1 } \}[/mm]
>
> an.
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> Hallo ihr Lieben,
>
> ich hab mal wieder eine Frage.
>
> Bei mir hängts iwie.
>
> Und zwar:
>
> [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 }[/mm] wird durch A zu [mm]\pmat{ 1 \\ -1 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }[/mm] wird durch A zu [mm]\pmat{ 2 \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 }[/mm] wird durch A zu [mm]\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm]
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sooo... ja sry, es waren ein paar Tippfehler drinne, hab mich so gefreut das ich endlich die Vektoren so schön graphisch dargstellt gekriegt hab, da sind die mir nicht aufgefallen^^
nun zurück zur Aufgabe...
[mm] A(\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 })=\pmat{ 3 \\ -1 }=4*\pmat{ 2 \\ 1 }+(-5)*\pmat{ 1 \\ 1 }
[/mm]
[mm] A(\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 })=\pmat{ 3 \\ 2 }=1*\pmat{ 2 \\ 1 }+1*\pmat{ 1 \\ 1 }
[/mm]
[mm] A(\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 })=\pmat{ 2 \\ 1 }=1*\pmat{ 2 \\ 1 }+0*\pmat{ 1 \\ 1 }
[/mm]
soo... und wie gehts jetzt weiter?
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> sooo... ja sry, es waren ein paar Tippfehler drinne, hab
> mich so gefreut das ich endlich die Vektoren so schön
> graphisch dargstellt gekriegt hab, da sind die mir nicht
> aufgefallen^^
>
> nun zurück zur Aufgabe...
>
> [mm]A(\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 })=\pmat{ 3 \\ -1 }=4*\pmat{ 2 \\ 1 }+(-5)*\pmat{ 1 \\ 1 }[/mm][mm] =(-5)*\pmat{ 1 \\ 1 }+4*\pmat{ 2 \\ 1 }=\vektor{-5\\4}_{(B_1)}
[/mm]
>
> [mm]A(\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 })=\pmat{ 3 \\ 2 }=1*\pmat{ 1 \\ 1 }[/mm][mm] +1*\pmat{ 2 \\ 1 }=\vektor{1\\1}_{(B_1)}
[/mm]
>
> [mm]A(\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 })=\pmat{ 2 \\ 1 }=0*\pmat{ 1 \\ 1 }[/mm][mm] +1*\pmat{ 2 \\ 1 }=\vektor{0\\1}_{(B_1)}
[/mm]
>
> soo... und wie gehts jetzt weiter?
>
Hallo,
ich rechne die Funktionswerte jetzt nicht nach, das wird jetzt schon alles stimmen.
In die Darstellungsmatrix gehören in die Spalten die Bilder der Basisvektoren in Koordinaten bzgl. der Basis [mm] B_2:=$ \{ \pmat{ 1 \\ 1 } , \pmat{ 2 \\ 1 } \} [/mm] $des Zielraumes.
Die Darstellungsmatrix bzgl. dieser Basen wäre also [mm] \pmat{-5&...&...\\ 4&...&...}.
[/mm]
Bedenken mußt Du, daß die Vektoren, die Du mit dieser Matrix multiplizierst, Koordinatenvektoren bzgl. der Basis [mm] B_1=$ \{ \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } , \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 } , \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } \} [/mm] $ sein müssen.
Gruß v., Angela
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hmm...
also erstmal danke für die Hilfe!
Ich hab verstanden was ich gemacht hab, und auch was du ergänzt hast, aber iwie versteh ich nicht warum ich das gemacht hab^^
Wir haben bis jetzt einiges mit Matrizen bewiesen, aber noch nix praktisch gerechnet...
Wenn ich jetz weiter mache komme ich zu der Matrix: [mm] \pmat{ -5 & 1 & 0 \\ 4 & 1 &1 }
[/mm]
Wenn ich diese aber mit dem Vektor [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] multipliziere komme ich auf [mm] \pmat{ -4 \\ 5 }. [/mm] Aber [mm] A(\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 }) [/mm] ist doch [mm] (\pmat{ 3 \\ -1}... [/mm] Iwie hab ich da noch was nicht verstanden.
Kann mir das nochmal jemand bitte erklären?
lg
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> hmm...
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> also erstmal danke für die Hilfe!
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> Ich hab verstanden was ich gemacht hab, und auch was du
> ergänzt hast, aber iwie versteh ich nicht warum ich das
> gemacht hab^^
Hallo,
ja, das kann ich mir gut vorstellen.
Aber Du hast es gemacht, und das ist erstmal wichtig.
Manchmal kommt das Verständnis auch, wenn man etwas oft genug tut.
Und wenn man aufs Verständnis nur wartet und nichts tut, ist das oft nicht von Erfolg gekrönt.
>
> Wir haben bis jetzt einiges mit Matrizen bewiesen, aber
> noch nix praktisch gerechnet...
>
> Wenn ich jetz weiter mache komme ich zu der Matrix: [mm]\pmat{ -5 & 1 & 0 \\ 4 & 1 &1 }[/mm]
>
> Wenn ich diese aber mit dem Vektor [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
> multipliziere komme ich auf [mm]\pmat{ -4 \\ 5 }.[/mm] Aber [mm]A(\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 })[/mm]
> ist doch [mm](\pmat{ 3 \\ -1}...[/mm] Iwie hab ich da noch was nicht
> verstanden.
>
> Kann mir das nochmal jemand bitte erklären?
Ja. Ich habe auf diese Frage geradezu gewartet.
Ich hoffe, ich vergaß nicht zu schreiben, daß Du die Matrix mit Koordinatenvektoren bzgl der Basis [mm] B_1 [/mm] multiplizieren mußt - und nicht etwas mit solchen in Standardkoordinaten.
Der Vektor [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] ist der erste der Basis [mm] B_1, [/mm] also [mm] \vektor{1\\0\\0}_{(B_1)}.
[/mm]
Du mußt also, die Matrix die Darstellungsmatrix von [mm] B_1 [/mm] nach [mm] B_2 [/mm] ist, die Matrix mit [mm] \vektor{1\\0\\0}_{(B_1)} [/mm] multiplizieren:
$ [mm] \pmat{ -5 & 1 & 0 \\ 4 & 1 &1 } [/mm] $* [mm] \vektor{1\\0\\0}=\vektor{-5\\4} [/mm] - [mm] \red{in Koordinaten bzgl. B_2}, [/mm] also = [mm] -5*\vektor{1\\1} [/mm] + [mm] 4\vektor{2\\1}=\vektor{3\\-1}.
[/mm]
Also alles in bester Ordnung.
Gruß v. Angela
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hmm...
Ich kann dir leider nicht so recht folgen, welche Vektoren [mm] B_{1} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] sind.
Die Basis im [mm] \IR^3 [/mm] ist ja vorgeschrieben...
Aber [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ist nicht dabei... Wie kommst du denn auf diesen?
Und noch eine allgemeine Frage: Was hab ich denn eigentlich hier gemacht, und was habe ich dabei herausbekommen.
Ich habe eine darstellende Matrix erstellt, also eine Matrix bezüglich der Abbildung A und bezüglich 2er Basen, die es mir "erspart" A(v) (v sei ein Vektor) nach der Abbildungsvorschrift auszurechnen, da ich genauso gut auch v mit der Matrix multiplizieren kann und das Gleiche dabei herauskommt. Aber was muss ich denn eigentlich multiplizieren, nicht die Vektoren sondern derer Koordinaten bezüglich der Basis? Und bekomme ich dann auch nur die Koordinaten der Vektoren bezüglich der 2. Basis?
Falls das so ist, wie kann ich denn dann zeigen, dass genauso wie Vektoren auch die Koordinatenvektoren eindeutig durch die Basis bestimmt ist? Ich weiß das es so sein muss, aber gibts da denn einen einfachen formalen Beweis?
Danke für die umfangreiche Hilfe!
lg Kai
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> hmm...
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> Ich kann dir leider nicht so recht folgen, welche Vektoren
> [mm]B_{1}[/mm] und [mm]B_{2}[/mm] sind.
>
> Die Basis im [mm]\IR^3[/mm] ist ja vorgeschrieben...
Hallo,
[mm] B_1:=$ \{ \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } , \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 } , \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } \} [/mm] $
[mm] B_2:=$ \{ \pmat{ 1 \\ 1 } , \pmat{ 2 \\ 1 } \} [/mm] $,
das sind die beiden basen bzgl derer man die matrix aufstellen sollte.
> Aber [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] ist nicht dabei... Wie kommst du
> denn auf diesen?
es ist [mm] B_1 [/mm] die Basis da oben, ich hatte sie in irgendinem der Posts so benannt, damit das Kind einen Namen hat.
Die von uns aufgestellte Matrix muß mit Koordinatenvektoren bzgl. [mm] B_1 [/mm] gefüttert werden und sie spuckt solche bzgl. [mm] B_2 [/mm] aus.
Wollen wir das Bild von [mm] \pmat{ 4 \\ 3 \\ 5} [/mm] mithilfe der matrix bestimmen, müssen wir diesen Vektor erst in Koordinaten bzgl. [mm] B_1 [/mm] transformieren, denn nur Koordinatenvektoren bzgl. [mm] B_1 [/mm] frißt die Matrix.
[mm] \pmat{ 4 \\ 3 \\ 5}=1* \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 }+2* \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }+3*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 }=\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }_{(B_1}.
[/mm]
Dieser Vektor ist für die Matrix verdaulich.
Es ist [mm] f(\pmat{ 4 \\ 3 \\ 5})=f(\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }_{(B_1})
[/mm]
= $ [mm] \pmat{ -5 & 1 & 0 \\ 4 & 1 &1 } $\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }_{(B_1)}=\vektor{-3\\9}_{(B_2)} [/mm] , da die Matrix die Darstellungsmatrix bzgl. [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] ist, ist das Ergebnis ein Koordinatenvektor bzgl [mm] B_2, [/mm] bedeutet also
-3* [mm] \pmat{ 1 \\ 1 } [/mm] + [mm] 9*\pmat{ 2 \\ 1 }=\vektor{15\\6}.
[/mm]
Wenn Du mit matrizen bzgl diesem und jenem rumwurschtest, ist es nützlich, unten an die vektoren dranzuschreiben, bzgl welcher Basis die sind.
Die nicht indizierten sind hier bzgl der Standardbasen des [mm] \IR^3 [/mm] bzw. [mm] \IR^2.
[/mm]
> Und noch eine allgemeine Frage: Was hab ich denn eigentlich
> hier gemacht, und was habe ich dabei herausbekommen.
Du hattest eine Abbildung f gegeben, die darstellende matrix bzgl. der Standardbasen wäre schnell aufgestellt gewesen.
Gefordert war hier abe eine matrix, mit welcher man bequem die Funktionswerte von vektoren die bzgl [mm] B_1 [/mm] gegeben sind, in der Basis [mm] B_2 [/mm] darstellen kann.
Das mag Dir im Moment überflüssig vorkommen, jedoch versucht man oft, mit solchen Basen zu arbeiten, die dem gestellten Problem geometrisch oder sonstwie besser angemessen sind. Durch die Wahl geeigneter Basen erreicht man mitunter sehr einfache - und damit aussagestarke - Darstellungsmatrizen, und diese Transformationen muß man halt ein bißchen üben, bevor es richtig ernst wird.
> Ich habe eine darstellende Matrix erstellt, also eine
> Matrix der Abbildung A und bezüglich 2er Basen,
> die es mir "erspart" A(v) (v sei ein Vektor) nach der
> Abbildungsvorschrift auszurechnen, da ich genauso gut auch
> v mit der Matrix multiplizieren kann und das Gleiche dabei
> herauskommt. Aber was muss ich denn eigentlich
> multiplizieren, nicht die Vektoren sondern derer
> Koordinaten bezüglich der Basis?
Ja. Du arbeitest hier mit Koordinatenvektoren.
Wenn Du einen Vektor bzgl der Basis [mm] B_1 [/mm] darstellen sollst, bedeutet das ja, daß Du sagen sollst, wie er als Linearkombination der Basisvektoren zu schreiben ist, und die Koeffizienten "gestapelt" ergeben den Koordinatenvektor.
>Und bekomme ich dann auch
> nur die Koordinaten der Vektoren bezüglich der 2. Basis?
Richtig. Wobei das "nur" zu diskutieren wäre.
Letzlich ist der Vektor [mm] \vektor{3\\2\\1} [/mm] ja auch nur ein Koordinatenvektor bzgl. der Standardbasis.
> Falls das so ist, wie kann ich denn dann zeigen, dass
> genauso wie Vektoren auch die Koordinatenvektoren eindeutig
> durch die Basis bestimmt ist? Ich weiß das es so sein muss,
> aber gibts da denn einen einfachen formalen Beweis?
Ich hoffe, daß ich Dich richtig verstehe.
[mm] B_1=(b_1, b_2, b_3) [/mm] ist eine Basis, und deshalb findet man für jeden Vektor v des [mm] \IR^3 [/mm] eindeutig Zahlen a,b,c so daß [mm] v=ab_1+bb_2+cb_3 [/mm] ist.
Das wurde in der Vorlesung gezeigt.
Der Übergang zu den Koordinatenvektoren vollzieht sich durch einen Isomorphismus [mm] \phi_{B_1}: \IR^3 \to \IR^3, [/mm] welcher wie folgt durch die Angabe der Werte auf einer Basis definiert ist:
[mm] \phi_{B_1}(b_1):=\vektor{1\\0\\0}_{(B_1)}
[/mm]
[mm] \phi_{B_1}(b_2):=\vektor{0\\1\\0}_{(B_1)}
[/mm]
[mm] \phi_{B_1}(b_3):=\vektor{0\\0\\1}_{(B_1)}
[/mm]
So richtig klar - und wie ich finde besser verständlich - wird die Sache mit den Koordinatenvektoren, wenn die zugrundeliegende Abbildung sich etwa im Raume der Polynome abspielt. Aber solche Übungsaufgaben dürften nicht lange auf sich warten lassen.
Gruß v. Angela
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Danke, vielen Dank!
Es hat mir echt wahnsinnig weitergeholfen die Aufgabe so toll kommentiert zu lösen!
Alle Fragen wurden beseitigt!
lg Kai
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