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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Fr 12.07.2013 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Gegeben seien die Basen B=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) und B'=((3,-1,0),-1,-1,1),(-3,2,-1)) von [mm] IR^3 [/mm] sowie die IR-lineare Abbildung [mm] f:IR^3 [/mm] ---> [mm] IR^3,
[/mm]
[mm] (x_1,x_2,x_3) [/mm] ---> [mm] (-5x_1-18x_2-24x_3, 4x_1+13x_2+16x_3 [/mm] , [mm] -2x_1-6x_2-7x_3
[/mm]
a) Berechnen Sie die Matrizen MBB(f) und MB'B'(f)
(ich wusste nicht wie man das macht der erste Buchstabe nach dem M das B kommt nach oben das zweite nach unten.)
b) Berechnen Sie die Matrizen MB B'(id) und MB' B(id)
c) Verifizieren Sie die Gleichung MB'B'(f)= MB'B(id) * MBB(f)* MBB'(id) |
Servus,
ist bisschen blöd geschrieben aber ich konnte leider mit dem Latex bzgl dieser Aufgabe nicht umgehen.
MBB(f) ist ja gleich der Abbildungsvorschrift, denn man arbeitet mit den Standardbasen, also [mm] \begin{pmatrix}
-5 & -18 & -24 \\
4 & 13 & 16 \\
-2 & -6 & -7
\end{pmatrix} [/mm] = MBB(f) stimmt das?
zu MB'B' da habe ich
[mm] f\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] f\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] f\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\- 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
was müsste ich jetzt machen um MB'B' zu bekommen. so wie bei dem ersten einfach hinschreiben kann ich das nicht, da man hier keine standardbasen hat.
ich tendiere entweder Gauß-Alg. oder ne Inverse zu bestimmen?
[mm] \begin{pmatrix}
3 & -1 & -3 | \quad 3 & -1 & -3 \\
-1 & -1 & 2 | \quad -1 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 | \quad 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
wäre das richtig für die Inverse nun nur noch berechnen?
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> Gegeben seien die Basen B=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) und
> [mm] B'=(b_1:=(3,-1,0),b_2:=(-1,-1,1),b_3:=(-3,2,-1)) [/mm] von [mm]IR^3[/mm] sowie die
> IR-lineare Abbildung [mm]f:IR^3[/mm] ---> [mm]IR^3,[/mm]
>
> [mm](x_1,x_2,x_3)[/mm] ---> [mm](-5x_1-18x_2-24x_3, 4x_1+13x_2+16x_3[/mm] ,
> [mm]-2x_1-6x_2-7x_3[/mm]
>
> a) Berechnen Sie die Matrizen [mm] M^B_B(f) [/mm] und [mm] M^{B'}_{B'}(f)
[/mm]
> (ich wusste nicht wie man das macht der erste Buchstabe
> nach dem M das B kommt nach oben das zweite nach unten.)
Hallo,
guck Dir den Quelltext dieses Beitrages an!
Mit der Formeleingabe solltest Du Dich allmählich vertraut machen.
Du möchtest ja sicher auch, daß wir uns etwas Mühe beim Antworten geben.
>
> b) Berechnen Sie die Matrizen [mm] M^B_{B'}(id) [/mm] und [mm] M^{B'}_B(id)
[/mm]
>
> c) Verifizieren Sie die Gleichung [mm] M^{B'}_{B'}(f)= M^{B'}_B(id) [/mm] *
> [mm] M^B_B(f)* M^B_{B'}(id)
[/mm]
> Servus,
> ist bisschen blöd geschrieben aber ich konnte leider mit
> dem Latex bzgl dieser Aufgabe nicht umgehen.
>
> [mm] M^B_B(f) [/mm] ist ja gleich der Abbildungsvorschrift,
Naja, das stimmt nun nicht ganz.
> denn man
> arbeitet mit den Standardbasen, also [mm] \begin{pmatrix}
-5 & -18 & -24 \\
4 & 13 & 16 \\
-2 & -6 & -7
\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm] M^B_B(f) [/mm] stimmt das?
Ja.
>
>
> zu MB'B' da habe ich
>
> [mm]\red{f(b_1)}=f\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm][mm] =\red{b_1=\vektor{1\\0\\0}_{(B')}}
[/mm]
>
> [mm]\red{f(b_2)}=f\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm][mm] =\red{b_2 =\vektor{0\\1\\0}_{(B')}}
[/mm]
>
> [mm] [mm\red{f(b_3)}=f\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] [/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 3 \\- 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm][mm] =\red{-b_3=\vektor{0\\0\\-1}_{(B')}}
[/mm]
>
> was müsste ich jetzt machen um MB'B' zu bekommen. so wie
> bei dem ersten einfach hinschreiben kann ich das nicht, da
> man hier keine standardbasen hat.
Genau. Sprüchlein zu Lernen:
In den Spalten der Darstellungsmatrix [mm] M^C_B(f) [/mm] von f bzgl der Basen C im Start- und D im Zielraum stehen die Bilder der Basisvektoren von C unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl D.
Also???
>
> ich tendiere entweder Gauß-Alg. oder ne Inverse zu
> bestimmen?
>
> [mm]\begin{pmatrix}
3 & -1 & -3 | \quad 3 & -1 & -3 \\
-1 & -1 & 2 | \quad -1 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 | \quad 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
Die linkee Matrix ist die Matrix [mm] M^{B'}_B(f).
[/mm]
Überleg Dir das mithilfe des Spruches.
>
> wäre das richtig für die Inverse nun nur noch berechnen?
Zur Berechnung der Inversen startet man doch mit der Einheitsmatrix rechts!
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:41 Sa 13.07.2013 | | Autor: | capri |
also ich bin jetzt alles durchgegangen was du mir geschrieben hast ich hoffe ich habe es verstanden.
Also ich müsste von
[mm] \begin{pmatrix} 3 & -1 & -3 | \quad 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 2 | \quad 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 | \quad 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
[/mm]
die Inverse bestimmen dann habe ich mein [mm] M^{B'}_{B'}(f)
[/mm]
und ehrlich zu sein habe ich es immer noch nicht so richtig verstanden.
mein [mm] M^{B}_{B}(f) [/mm] war richtig.
Die linke seite ist mein [mm] M^{B'}_{B}(f) [/mm] aber wenn ich die Inverse bilde müsste ich doch [mm] M^{B}_{B'}(f) [/mm] haben und nicht [mm] M^{B'}_{B'}(f). [/mm] ALso müsste das doch falsch sein was ich oben geschrieben habe.
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> Also ich müsste von
> [mm]\begin{pmatrix} 3 & -1 & -3 | \quad 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 2 | \quad 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 | \quad 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> die Inverse bestimmen
Hallo,
richtig ist: wenn Du die Inverse der linken Matrix bestimmen wolltest, müßtest Du so starten.
Aber wofür willst Du von [mm] M^{B'}_B(f) [/mm] die Inverse bestimmen?
> dann habe ich mein [mm]M^{B'}_{B'}(f)[/mm]
Nein.
Hast Du meinen Beitrag eingehend studiert?
Anscheinend nicht...
Ich habe Dir doch das Sprüchlein extra hingeschrieben, und in Deiner Rechnung alles ergänzt, was Du zum Aufstellen der gesuchten Matrix brauchst. (?)
Wie lautet das Sprüchlein für [mm] M^{B'}_{B'}?
[/mm]
Wenn Du das dastehen hast, mach der Reihe nach alles, was dort steht.
> mein [mm]M^{B}_{B}(f)[/mm] war richtig.
Ja.
> Die linke seite ist mein [mm]M^{B'}_{B}(f)[/mm] aber wenn ich die
> Inverse bilde
> müsste ich doch [mm]M^{B}_{B'}(f)[/mm] haben
Nein.
Das kann doch gar nicht sein: überleg doch mal, was Du nach Deiner "Theorie" bekommen müßtest, wenn Du [mm] M_B^B(f) [/mm] invertierst?
Und was machst Du, wenn f nicht bijektiv ist?
Ich denke, Du merkst, daß in Deiner Idee der Wurm steckt.
> und
> nicht [mm]M^{B'}_{B'}(f).[/mm] ALso müsste das doch falsch sein was
> ich oben geschrieben habe.
Ja.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Sa 13.07.2013 | | Autor: | capri |
tut mir leid das Sprüchlein hat leider nicht geholfen. ^^
Es ist eine gute Frage was passiert wenn ich [mm] M^{B}_{B}(f) [/mm] invertiere.
vllt [mm] M^{B'}_{B'}(f)?
[/mm]
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Hallo,
> tut mir leid das Sprüchlein hat leider nicht geholfen. ^^
> Es ist eine gute Frage was passiert wenn ich [mm]M^{B}_{B}(f)[/mm]
> invertiere.
> vllt [mm]M^{B'}_{B'}(f)?[/mm]
Warum sollte da [mm]M^{B'}_{B'}(f)?[/mm] rauskommen?
Es wird eher [mm]M^{B}_{B}(f^{-1})[/mm] sein.
Gruß helicopter
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> tut mir leid das Sprüchlein hat leider nicht geholfen. ^^
Hallo,
Du willst doch [mm] M^{B'}_{B'}(f) [/mm] finden.
Dann schreib den schönen Spruch doch einfach mal hin - natürlich mit den Bezeichnungen, die für Deine Aufgabe relevant sind.
Und wenn wir das vor Augen haben, kannst Du mal sagen, was Du nicht verstehst.
> Es ist eine gute Frage was passiert wenn ich [mm]M^{B}_{B}(f)[/mm]
> invertiere.
> vllt [mm]M^{B'}_{B'}(f)?[/mm]
Wir sind hier nicht in einer Quizzsendung.
Wieso sollte durchs Invertieren ausgerechnet [mm] M^{B'}_{B'}(f) [/mm] entstehen?
Wie vom Vorredner gesagt: sofern die Abbildung invertierbar ist, bekommst Du die Matrix der inversen Abbildung.
LG Angela
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