Abbildungsmatrix - Projektion < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum. Sei P : V [mm] \rightarrow [/mm] V eine Projektion. Zeige: Es gibt eine Basis B:= [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] von V, so dass die Matrixdarstellung M(P,B,B) folgende Gestalt hat:
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
(Da ich nicht wusste, wie ich diese Matrix für n Zeilen und Spalten schreibe, habe ich sie mal als 4 x 4 Matrix geschrieben, natürlich sollte es eine n x n Matrix sein, die die gleichen Eigenschaften wie meine 4 x 4 Matrix hat).
Was gibt die Anzahl der Einsen in der Diagonale an? |
So nun meine Frage.
Ich denke, ich habe die Aufgabe fast komplett verstanden, aber mir fehlt noch eine Kleinigkeit (oder vielleicht ist es auch mehr als eine Kleinigkeit..).
Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe und mein Vorgehen richtig ist, müsste für endlichdimensionale Vektorräume folgendes gelten: Wenn f : V [mm] \rightarrow [/mm] W eine lineare Abbildung ist und [mm] B_v [/mm] eine Basis von V ist und [mm] B_w [/mm] eine Basis von W, dann müsste gelten, dass die Abbildungsmatrix folgende Gestalt hat:
[mm] M(f,B_v,B_w) [/mm] = [mm] \pmat{ B_v & 0 \\ 0 & B_w }. [/mm] Ich hoffe ihr versteht was ich meine. Ich bin ziemlich sicher, dass dies stimmt, aber habe leider keine Ahnung, wie ich das beweisen kann bzw. darauf schließen kann. Wenn ich alle Eigenschaften von Projektion und diesem Endomorphismus nutze, kann ich damit auf die geforderte Matrix schließen
Wenn es stimmt, ist der Rest eine ziemlich einfache Sache und naja, könnte mir jemand helfen, bzw. einen Tipp geben?
Liebe Grüße,
euer Roughi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:31 Di 20.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir haben: [mm] P^2=P
[/mm]
Rechne nach: $V=bild(P) [mm] \oplus [/mm] kern(P)$
Für x [mm] \in [/mm] bild(P) ist Px=x und für x [mm] \in [/mm] kern(P) ist Px=0
Sein [mm] \{b_1,...,b_m\} [/mm] eine Basis von bild(P) und [mm] \{b_{m+1},...,b_n\} [/mm] eine Basis von kern(P) (m [mm] \le [/mm] n:=dim(V))
Dann ist B:= [mm] \{b_1,...b_n\} [/mm] eine Basis von V und M(P,B,B) hat die gewünschte Gestalt.
FRED
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Ja, soweit ist die Sache für mich klar. Es ist ja damit schon bewiesen, aber ich sehe nicht wieso.
Also ich verstehe nicht, wieso durch die Basen [mm] B_1=(b_1,...,b_m) [/mm] und [mm] B_2=(b_{m+1},...,b_n) [/mm] genau die gewünschte Matrix dargestellt wird.
Diese Matrix muss sozusagen die "halbe Einheitsmatrix" sein, denn sie hat nur in der halben Diagonalen Einsen stehen (oben links angefangen).
Nun, deshalb meine Frage ganz oben im Threat.
So wie ich es verstehe müssen dann Bild P und Kern P gleich viele Elemente besitzen, heißt die gleiche Dimension haben, damit das stimmt.
Aber wir haben doch den trivialen Kern, sprich dessen Dimension [mm] \not= [/mm] dim Bild P (Dimension vom trivialen Kern ist doch auch 0 oder?).
Ich hab also lediglich Probleme mit der Darstellung der Matrix...
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> Ja, soweit ist die Sache für mich klar.
Hallo,
ich bin mir nicht so sicher, daß was klar ist.
> Es ist ja damit
> schon bewiesen, aber ich sehe nicht wieso.
> Also ich verstehe nicht, wieso durch die Basen
> [mm]B_1=(b_1,...,b_m)[/mm] und [mm]B_2=(b_{m+1},...,b_n)[/mm] genau die
> gewünschte Matrix dargestellt wird.
Es wird hier keine Matrix durch Basen dargestellt.
Sondern: es wird die lineare Abbildung P bzgl einer Basis B durch die genannte Matrix dargestellt.
>
> Diese Matrix muss sozusagen die "halbe Einheitsmatrix"
> sein, denn sie hat nur in der halben Diagonalen Einsen
> stehen (oben links angefangen).
Nein. Es kann auch sein, daß es nur eine 1 ist und 25 Nullen auf der Hauptdiagonalen.
>
> Nun, deshalb meine Frage ganz oben im Threat.
> So wie ich es verstehe müssen dann Bild P und Kern P
> gleich viele Elemente besitzen, heißt die gleiche
> Dimension haben, damit das stimmt.
Nein, müssen sie nicht.
(Dann könnte man ja im dreidimensionalen Raum auch gar nicht projizieren.)
> Aber wir haben doch den trivialen Kern,
Was meinst Du mit "trivialem Kern"?
> sprich dessen
> Dimension [mm]\not=[/mm] dim Bild P (Dimension vom trivialen Kern
> ist doch auch 0 oder?).
???
>
> Ich hab also lediglich Probleme mit der Darstellung der
> Matrix...
Nee, ich glaub, Du hast ganz andere Probleme.
Zumindest von dem, was bei mir ankommt, habe ich das Gefühl, daß Du weder verstanden hast, was eine Projektion ist, noch das Konzept der Darstellungsmatrizen.
Hast Du alles ausführlich gezeigt und begründet, was Fred schrieb?
Wenn du dann noch weißt, wie man die Darstellungsmatrix einer Abbildung bzgl einer vorgegbenen Basis aufstellt (wie denn?), dann bist Du am Ziel.
Im Einganspost schriebst Du:
"Wenn f : V $ [mm] \rightarrow [/mm] $ W eine lineare Abbildung ist und $ [mm] B_v [/mm] $ eine Basis von V ist und $ [mm] B_w [/mm] $ eine Basis von W, dann müsste gelten, dass die Abbildungsmatrix folgende Gestalt hat:
$ [mm] M(f,B_v,B_w) [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ B_v & 0 \\ 0 & B_w }. [/mm] $"
Das ist völlig falsch.
Informiere Dich über Darstellungsmatrizen und durchdenke, was fred gesagt hat.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Di 20.12.2011 | | Autor: | RoughNeck |
Gut ok, es sah für mich auf dem Aufgabenblatt so aus, als ob die Hauptdiagonale genau in 2 Teile geteilt wurde, die Hälfte besteht aus 1sen, die andere aus Nullen, dass hatte ich nicht verstanden.
Weiterhin, mit Darstellungsmatrizen habe ich Probleme, völlig richtig, aber ich denke trotzdem, dass ich es hinkriege, melde mich, wenn ich es habe.
Vielen Dank euch einmal wieder:).
Liebe Grüße
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So ich bin nun soweit, das ich doch mehrere Denkfehler aus meinem Kopf gestrichen habe. Ich habe V= Kern (p) [mm] \oplus [/mm] Bild(p) nachgerechnet bzw. bewiesen.
Jetzt nochmals eine Frage zu fred´s Beitrag:
Es seien wie fred gesagt hat jetzt [mm] B_1=(b_1,...,b_m) [/mm] eine Basis von Bild(p) ist und [mm] B_2=(b_{m+1},...,b_n) [/mm] eine Basis von Kern(p).
Nun gilt allgemein für die Abbildungsmatrizen, die ich aus einer vorgegeben Abbildung hervorgeht: Man betrachtet einfachsten Falls die Standardbasis als Beispiel. Die Matrix bestimmt sich durch [mm] P(e_1),..., P(e_n) [/mm] mit [mm] P(e_i), [/mm] i=1,...,n, die Spalten der darstellenden Matrix.
Wegen der Projektion gilt wie fred auch gesagt hat: x [mm] \in [/mm] Bild P => P(x)=x und wenn x [mm] \in [/mm] Kern P => P(x)=0.
Da nun, wie ich bewiesen haben gilt: V= Bild P [mm] \oplus [/mm] Kern P und somit gilt für die Basen von Bild P [mm] (B_1) [/mm] und Kern P [mm] (B_2), [/mm] dass [mm] B_1 \cup B_2 [/mm] = B eine Basis von V ist.
Damit gilt für die darstellende Matrix, bezogen auf die Standardbasis, dass sie die gewünschte Form hat, da [mm] \forall b_i \in B_1 [/mm] gilt: [mm] P(b_i)=b_i \forall [/mm] i=1,...m und [mm] \forall b_j \in B_2: P(b_j)=0 \forall [/mm] j=m+1,...,n.
Hieraus folgt nun die gewünschte Form der darstellenden Matrix.
Stimmt meine Denkweise nun?
Liebe Grüße
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> So ich bin nun soweit, das ich doch mehrere Denkfehler aus
> meinem Kopf gestrichen habe.
Hallo,
gut.
Offenbar bist Du ein Nachtdenker...
> Ich habe V= Kern (p) [mm]\oplus[/mm] Bild(p) nachgerechnet bzw. bewiesen.
Auch gut.
Damit ist dann ja auch klar, daß die Basen von Bild und Kern zusammengeschüttet eine Basis von V ergeben.
>
> Jetzt nochmals eine Frage zu fred´s Beitrag:
>
> Es seien wie fred gesagt hat jetzt [mm]B_1=(b_1,...,b_m)[/mm] eine
> Basis von Bild(p) ist und [mm]B_2=(b_{m+1},...,b_n)[/mm] eine Basis
> von Kern(p).
Er hat die basen von Bild und Kern so benannt, ja.
> Nun gilt allgemein für die Abbildungsmatrizen, die ich aus
> einer vorgegeben Abbildung hervorgeht: Man betrachtet
> einfachsten Falls die Standardbasis als Beispiel.
Nun, daß die Standardbasis der einfachste Fall ist, stimmt eigentlich nicht. Ich sag mal so: die Standardbasis ist einem am vertrautesten, und deshalb kommt es einem am Anfang am einfachsten vor.
Ist es aber nicht.
Am einfachsten ist es immer mit der Basis, welche der Geometrie der Abbildung am besten entspricht.
Du siehst es ja auch bei der Projektionsmatrix, welche mit der richtigen Basis ein extrem klares Aussehen bekommt. [mm] (\*)
[/mm]
> Die
> Matrix bestimmt sich durch [mm]P(e_1),..., P(e_n)[/mm] mit [mm]P(e_i),[/mm]
> i=1,...,n, die Spalten der darstellenden Matrix.
Ja, diese Funktionswerte werden dann die Spalten der Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis.
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> Wegen der Projektion gilt wie fred auch gesagt hat: x [mm]\in[/mm]
> Bild P => P(x)=x und wenn x [mm]\in[/mm] Kern P => P(x)=0.
Genau. Das ist das Wesen der Projektion, man kennt es ja auch von Schattnspielen.
> Da nun, wie ich bewiesen haben gilt: V= Bild P [mm]\oplus[/mm] Kern
> P und somit gilt für die Basen von Bild P [mm](B_1)[/mm] und Kern P
> [mm](B_2),[/mm] dass [mm]B_1 \cup B_2[/mm] = B eine Basis von V ist.
Ja.
> Damit gilt für die darstellende Matrix, bezogen auf die
> Standardbasis, dass sie die gewünschte Form hat, da
> [mm]\forall b_i \in B_1[/mm] gilt: [mm]P(b_i)=b_i \forall[/mm] i=1,...m und
> [mm]\forall b_j \in B_2: P(b_j)=0 \forall[/mm] j=m+1,...,n.
Ja.
> Hieraus folgt nun die gewünschte Form der darstellenden
> Matrix.
Ja.
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> Stimmt meine Denkweise nun?
Ja!!! Ich bin entzückt und werde jetzt beschwingt Pferdeäpfel schaufeln gehen, ein glückliches Strahlen im Gesicht!
You made my day!
Frohe Weihnachten!
Gruß v. Angela
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> Liebe Grüße
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