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| Aufgabe | Betrachte die Abbildung
T: [mm] \IP_n \rightarrow \IP_{n+1} [/mm] , [mm] \summe_{k=0}^{n} a_k x^k \mapsto \summe_{k=1}^{n+1} \frac{a_{k-1}x^k}{k}.
[/mm]
Bestimme die Matrixdarstellung dieser linearen Abbildung bzgl. der Basen [mm] (q_0,q_1, [/mm] . . . [mm] ,q_n) [/mm] bzw. [mm] (q_0,q_1, [/mm] . . . [mm] ,q_{n+1}), [/mm] wobei [mm] q_j(x):=x^j. [/mm] |
Hallo liebe Leser.
Ich sitze an dieser interessanten Aufgabe über Matrizen.
Erst einmal ist mir aufgefallen, dass diese Abbildung den Polynomen aus ihrer Definitionsmenge die "Aufleitung" (wie sie in der Schule genannt wird), zuordnet.
Ich kann mir die Aufgabe gut vorstellen, weiß aber nicht, wie ich die 'Ergebnisse' in eine Matrix packe.
Mein Vorgehen:
Ich bin vorgegangen, wie man es auch bei der Matrix der darstellenden Ableitung macht (ich meine nicht die Jacobi- bzw. Funktionalmatrix).
Dies sieht wie folgt aus:
Ich bilde
T(1) = x = 1 x + 0 [mm] x^2 [/mm] + 0 [mm] x^3 [/mm] +...+ 0 [mm] x^{n+1}
[/mm]
T(x) = [mm] \frac{1}{2}x^2 [/mm] = 0 x + [mm] \frac{1}{2} x^2 [/mm] + 0 [mm] x^3 [/mm] +...+ 0 [mm] x^{n+1}
[/mm]
[mm] T(x^2) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}x^3 [/mm] = 0 x + 0 [mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{3} x^3 [/mm] +...+ 0 [mm] x^{n+1}
[/mm]
.
.
.
[mm] T(x^n) [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} x^{n+1} [/mm] = 0 x + 0 [mm] x^2 [/mm] + 0 [mm] x^3 [/mm] +...+ [mm] \frac{1}{n+1} x^{n+1}
[/mm]
Jetzt sieht man schon die Vorfaktoren. Diese sind schon einmal richtig und kommen auch in die Matrix. Jetzt frage ich mich, was ist Zeile und Spalte dieser Matrix? Und vor allem, die Basis vom Bildberech ist: [mm] B_{\IP_{n+1}}= (q_0,q_1, [/mm] . . . [mm] ,q_{n+1}) [/mm] und das erste Glied wird nicht erreicht [mm] (q_0).
[/mm]
Ich vermute damit es rechnerisch passt, dass die Matrix wie folgt aussehen müsste:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0& 0 & 0... & 0 \\ 1 & 0 & 0& 0 & 0 &... & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 &...& 0
\\ ...\\.\\.\\ 0 & 0 & 0 & 0 &...&0 & \frac{1}{n+1}& 0}
[/mm]
Also sozusagen eine Diagonale unterhalb der Hauptdiagonalen mit den Koeffizieten 1, [mm] \frac{1}{2}, \frac{1}{3},..., \frac{1}{n+1}.
[/mm]
Aber wie könnte ich das Begründen und warum ist das so?
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Liebe Grüße,
euer RoughNeck
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:09 Do 08.12.2011 | | Autor: | RoughNeck |
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0& 0 & 0... & 0 \\ 1 & 0 & 0& 0 & 0 &... & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 &...& 0
\\ ...\\.\\.\\ 0 & 0 & 0 & 0 &...&0 & \frac{1}{n+1}}
[/mm]
Müsste die Matrix sein, mit n+1 Zeilen und n Spalten oder?
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Hallo RN,
> Betrachte die Abbildung
> T: [mm]\IP_n \rightarrow \IP_{n+1}[/mm] , [mm]\summe_{k=0}^{n} a_k x^k \mapsto \summe_{k=1}^{n+1} \frac{a_{k-1}x^k}{k}.[/mm]
>
> Bestimme die Matrixdarstellung dieser linearen Abbildung
> bzgl. der Basen [mm](q_0,q_1,[/mm] . . . [mm],q_n)[/mm] bzw. [mm](q_0,q_1,[/mm] . . .
> [mm],q_{n+1}),[/mm] wobei [mm]q_j(x):=x^j.[/mm]
>
>
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> Hallo liebe Leser.
>
> Ich sitze an dieser interessanten Aufgabe über Matrizen.
>
> Erst einmal ist mir aufgefallen, dass diese Abbildung den
> Polynomen aus ihrer Definitionsmenge die "Aufleitung" (wie
> sie in der Schule genannt wird), zuordnet.
>
> Ich kann mir die Aufgabe gut vorstellen, weiß aber nicht,
> wie ich die 'Ergebnisse' in eine Matrix packe.
>
> Mein Vorgehen:
> Ich bin vorgegangen, wie man es auch bei der Matrix der
> darstellenden Ableitung macht (ich meine nicht die Jacobi-
> bzw. Funktionalmatrix).
> Dies sieht wie folgt aus:
>
> Ich bilde
>
> T(1) = x = 1 x + 0 [mm]x^2[/mm] + 0 [mm]x^3[/mm] +...+ 0 [mm]x^{n+1}[/mm]
Es ist [mm] $T(1)=x=\red{0\cdot{}1}+1\cdot{}x+0\cdot{}x^2+\ldots 0\cdot{}x^{n+1}$
[/mm]
> T(x) = [mm]\frac{1}{2}x^2[/mm] = 0 x + [mm]\frac{1}{2} x^2[/mm] + 0 [mm]x^3[/mm]
> +...+ 0 [mm]x^{n+1}[/mm]
> [mm]T(x^2)[/mm] = [mm]\frac{1}{3}x^3[/mm] = 0 x + 0 [mm]x^2[/mm] + [mm]\frac{1}{3} x^3[/mm]
> +...+ 0 [mm]x^{n+1}[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]T(x^n)[/mm] = [mm]\frac{1}{n+1} x^{n+1}[/mm] = 0 x + 0 [mm]x^2[/mm] + 0 [mm]x^3[/mm]
> +...+ [mm]\frac{1}{n+1} x^{n+1}[/mm]
Du hast jeweils den ersten Basisvektor bzw. dessen Vielfaches in den LK's der rechten Seite vergessen
>
> Jetzt sieht man schon die Vorfaktoren. Diese sind schon
> einmal richtig und kommen auch in die Matrix. Jetzt frage
> ich mich, was ist Zeile und Spalte dieser Matrix? Und vor
> allem, die Basis vom Bildberech ist: [mm]B_{\IP_{n+1}}= (q_0,q_1,[/mm]
> . . . [mm],q_{n+1})[/mm] und das erste Glied wird nicht erreicht
> [mm](q_0).[/mm]
>
> Ich vermute damit es rechnerisch passt, dass die Matrix wie
> folgt aussehen müsste:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0& 0 & 0... & 0 \\
1 & 0 & 0& 0 & 0 &... & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & ... & 0\\
0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 &...& 0 \\
...\\
.\\
.\\
0 & 0 & 0 & 0 &...&0 & \frac{1}{n+1}& 0}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also sozusagen eine Diagonale unterhalb der Hauptdiagonalen
> mit den Koeffizieten 1, [mm]\frac{1}{2}, \frac{1}{3},..., \frac{1}{n+1}.[/mm]
>
> Aber wie könnte ich das Begründen und warum ist das so?
Na, du stopfst doch die Kooeffizienten in den LK's rechterhand als Spalten in die Darstellungsmatrix, und zwar die vom Bild des i-ten Basisvektors aus dem Urbildraum in die i-te Spalte
Die erste Nullzeile rührt daher, dass jede der LK's mit [mm] $0\cdot{}1$ [/mm] beginnen sollte - das hattest du unterschlagen ...
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> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Liebe Grüße,
>
> euer RoughNeck
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Do 08.12.2011 | | Autor: | RoughNeck |
Ahh. Stimmt. Dann ist die Sache klar. Vielen vielen Dank:).
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