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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Sa 29.05.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Sei A die Matrix
[mm] \pmat{ -2 & -3 & 2 & -2 \\ 3 & 4 & -2 & 5 \\ -3 & -4 & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 & -2 }
[/mm]
und die [mm] \Phi_A [/mm] : [mm] \IR^4 \to \IR^4 [/mm] die entsprechende lineare Abbildung.
Sei [mm] v_1 [/mm] = [mm] e_1+e_3 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] = [mm] e_2 [/mm] - [mm] e_4
[/mm]
und V = [mm] _{\IR}.
[/mm]
Berechne die Matrix der linearen Abbildung [mm] \Phi_{A|_{V}} [/mm] : V [mm] \to [/mm] V in der Basis [mm] B={v_1,v_2} [/mm] |
Hallo,
aus der Aufgabenstellung ergibt sich: [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und v2= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}.
[/mm]
Hier findet kein Basiswechsel statt, also bleibt nur noch die Basisvektoren von B in [mm] \Phi_A [/mm] (x) einzusetzen und das Ergebnis durch sich selbst auszudrücken.
[mm] \Phi_A [/mm] (v1) = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1} [/mm] = 0 * [mm] v_1 [/mm] + 1 * [mm] v_2
[/mm]
[mm] \Phi_A [/mm] (v2) = [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = -1 * [mm] v_1 [/mm] -1 * [mm] v_2
[/mm]
Daraus ergibt sich, dass die Abbildungsmatrix die folgende Form hat:
[mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & -1 }
[/mm]
Das erscheint mir aber nicht richtig, da ich diese 2x2 Matrix nicht mit Vektoren aus V multiplizieren kann. Das müsste doch wieder eine 4x4 Matrix sein. Was mache ich das falsch?
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Hallo etoxxl,
> Sei A die Matrix
> [mm]\pmat{ -2 & -3 & 2 & -2 \\ 3 & 4 & -2 & 5 \\ -3 & -4 & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 & -2 }[/mm]
>
> und die [mm]\Phi_A[/mm] : [mm]\IR^4 \to \IR^4[/mm] die entsprechende lineare
> Abbildung.
> Sei [mm]v_1[/mm] = [mm]e_1+e_3[/mm] und [mm]v_2[/mm] = [mm]e_2[/mm] - [mm]e_4[/mm]
> und V = [mm]_{\IR}.[/mm]
> Berechne die Matrix der linearen Abbildung [mm]\Phi_{A|_{V}}[/mm] :
> V [mm]\to[/mm] V in der Basis [mm]B={v_1,v_2}[/mm]
> Hallo,
>
> aus der Aufgabenstellung ergibt sich: [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> und v2= [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}.[/mm]
>
> Hier findet kein Basiswechsel statt, also bleibt nur noch
> die Basisvektoren von B in [mm]\Phi_A[/mm] (x) einzusetzen und das
> Ergebnis durch sich selbst auszudrücken.
>
> [mm]\Phi_A[/mm] (v1) = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}[/mm] = 0 * [mm]v_1[/mm] + 1 *
> [mm]v_2[/mm]
> [mm]\Phi_A[/mm] (v2) = [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ \red{-}1 \\ 1}[/mm] = -1 * [mm]v_1[/mm] -1 *
> [mm]v_2[/mm]
>
> Daraus ergibt sich, dass die Abbildungsmatrix die folgende
> Form hat:
> [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & -1 }[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Das erscheint mir aber nicht richtig, da ich diese 2x2
> Matrix nicht mit Vektoren aus V multiplizieren kann. Das
> müsste doch wieder eine 4x4 Matrix sein. Was mache ich das
> falsch?
Nichts, V ist zweidimensional, [mm] $A_{\left|_V}$ [/mm] bildet von [mm] $V\to [/mm] V$ ab, also von einem 2dim. Raum in einen 2dim. Raum.
Folglich ist die Darsellungsmatrix vom Format [mm] $2\times [/mm] 2$
Allg. [mm] $\phi:V\to [/mm] W$ mit [mm] $\operatorname{dim}(V)=n,\operatorname{dim}(W)=m$ [/mm] linear, so ist die Darstellungsmatrix (bzgl. einer gewählten Basis) vom Format [mm] $m\times [/mm] n$
Gruß
schachuzipus
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