Abbildungsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:02 Sa 06.12.2008 | | Autor: | farnold |
| Aufgabe | Sei F:V→ W eine lineare Abbildung und seien A (v1,...,vn) und B Basen von V und W.
φ(A) und φ(b) seien Isomorphismen : phi(e[i]) = v[i] mit i=(1,...,n).
Dann hat man ein Diagramm linearer Abbildungen gegeben
phi(A) : [mm] K^n [/mm] → V
ph(B) : [mm] K^m [/mm] -> W
F : V ->W
M(F)(bezüglich der Basen A und B) : [mm] K^n [/mm] -> [mm] K^m [/mm] |
In meinem Buch steht nun dass Die Abbildungsmatrix M(F)(bzgl Basen Aund B) von [mm] K^n→K^m [/mm] geht.
Das verstehe ich nun gar nicht. [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m [/mm] haben ja als Basis die kanonische Basis, wie kann dann die Abbildungsmatrix bezüglich der Basen A und B von [mm] K^n [/mm] -> [mm] K^m [/mm] gehen?
Müsste es nicht vielmehr von V->W heißen ( ich hoffe versteht wo mein problem liegt)
Nun hätte ich noch eine allgemeine Frage:
Wäre F in expliziter Form gegeben, setzt man dann in F den Vektor selbst ein, oder den Koordiantenvektore bezüglich gegebener Basen.
Bzw. ist F bezüglich irgendwelcher Basen gegeben?
Würde mich sehr über Hilfe freuen,weil dieses Thema um viele nachfolgende Themen verstehen zu können sehr sehr wichtig ist .
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Hast Du mal eine passende Aufgabe parat, wo F und die Basen explizit gegeben sind?
Ich würde Dir nämlich lieber am Beispiel erklären, was zu tun ist, und wenn Du dann noch das Bedürfnis hast, anschließend auf das, was Du in Deinem Buch liest, eingehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) für Interessierte | | Datum: | 21:15 Sa 06.12.2008 | | Autor: | farnold |
hmm dann nehmen wir einfach mal eine Abbildung F: V -> W
wobei V = [mm] IR^3 [/mm] mit der Basis A = (1,1,1),(0,2,0),(0,0,4) und W = [mm] IR^3 [/mm] mit der Basis B = (2,0,0),(2,2,0),(0,0,2)
F ist explizit gegeben durch F(x,y,z) = (3x - z,y +3z,x + y +3z)
(hab mir die Abbildung selbst ausgedacht, hoffe man kann damit "arbeiten".)
so nun nochmal meine Frage(n) anhand des Beispiels:
1.)
F ist ja nun in "expliziter Form" gegeben. Was bedeutet dies genau?
Bei einer Abbildungsmatrix ist es ja so, dass ich die Koordinaten bezüglich eines Vektors in die Matrix "stecke" ( also nicht direkt den Vektor) ist dies bei F genau so? Wenn ja bezüglich welcher Basis ist die Abbildung F ( die wir ja nicht in Matrixform haben).
2.) warum "geht" die Abbildungsmatrix bezüglich der Basen A und B von [mm] K^n [/mm] -> [mm] K^m [/mm] ? (ist hier nicht die kanonische Basis?)
3.) habe ich nun die Abbildungsmatrix bezüglich A und B und irgendeinen Vektor. Will ich diesen abbilden muss ich dann ungefähr so vorgehen:
Vektor als Linearekombination der Basis A schreiben (die Koeffizienten bilden dann quasi den "Koordinatenvektor". Lasse diesen dann abbilden und habe den Koordinatenvektor von B, sprich ich muss den ersten Schritt gerade umgekehrt machen und habe meinen Vektor?
Ich hoffe ich habe nicht zuviel verwirrung gestiftet :(
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> hmm dann nehmen wir einfach mal eine Abbildung F: V -> W
> wobei V = [mm]IR^3[/mm] mit der Basis A = [mm] (a_1:=\vektor{1\\1\\1}, a_2:=\vektor{0\\2\\0}, a_3:=\vektor{0\\0\\4})
[/mm]
> und W = [mm]IR^3[/mm] mit der Basis B [mm] =(b_1:=\vektor{2\\0\\0}, b_2:=\vektor{2\\2\\0} ,b_3:=\vektor{0\\0\\2})
[/mm]
>
> F ist explizit gegeben durch
> F( [mm] \vektor{x\\y\\z}):= \vektor{3x-z\\ y+3z\\ x+y+3z}
[/mm]
>
> (hab mir die Abbildung selbst ausgedacht, hoffe man kann
> damit "arbeiten".)
>
> so nun nochmal meine Frage(n) anhand des Beispiels:
>
> 1.)
> F ist ja nun in "expliziter Form" gegeben. Was bedeutet
> dies genau?
Wenn das so angegeben ist, dann sind die Vektoren, die bei F eingesetzt werden bzgl. der Standardbasis E gemeint .
Es ist also F( [mm] \vektor{1\\2\\3}):= \vektor{3*1-3\\ 2+3*3\\ 1+2+3*3}=\vektor{0\\11\\12}.
[/mm]
Wenn Du die darstellende Matrix bzgl der Standardbasis haben willst, steckst Du in die Spalten der Matrix die Bilder der Basisvektoren (in Standardkoordinaten).
Die darstellende Matrix bzgl E wäre also
[mm] _EM(F)_E=\pmat{3&0&1\\0&1&3\\1&1&3}
[/mm]
Man füttert diese Matrix mit Vektoren bzgl der Standardbasis und bekommt das Bild in der Standardbasis.
Nun gibt es mitunter das Ansinnen, daß man eine Matrix sucht, die folgendes tut: man füttert sie mit Vektoren in Koordinaten bzgl. A und sie liefert deren Bild in Koordinaten bzgl. B.
Hinter den [mm] \varphi_A [/mm] und [mm] varphi_B [/mm] verbergen sich die Koordinatendarstellungen von Vektoren bzgl der Basen A bzw. B.
Es geht um folgendes, was ich am Beispiel erkläre:
Man schreibt [mm] v:=1*a_1+1*a_2+1*a_3 [/mm] als [mm] \vektor{1\\2\\3}_{(A)}, [/mm] also
[mm] v:=1*a_1+1*a_2+1*a_3 [/mm] = [mm] \vektor{1\\2\\3}_{(A)}.
[/mm]
Dies macht die Abbildung [mm] \phi_A^{-1}: [/mm] sie ordnet jeder Linearkombination von Basiselementen aus A einen Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] zu, nämlich den Koordinatenvektor bzgl dieser Basis.
(Spaltenvektoren brauchen wir ja, wenn wir irgendwas mit Matrizen ausrichten wollen.)
Entsprechend natürlich für [mm] \phi_B.
[/mm]
Die Sache mit den Koordinatenvektoren wird offensichtlicher, wenn wir Abbildungen betrachten, die sich beispielweise zwischen Polynomräumen abspielen, wo die Basis dann gar nicht aus Spaltenvektoren besteht - auch solche lin. Abbildungen möchte man mit Matrizen beschreiben, und was Du in Deinem Einganspost schreibst, soll der Prozeß sein, daß man in Koordinatenvektoren umwandelt und somit die Abbildung als Matrix darstellen kann. ( Ein einfaches Beispiel mache ich noch unten.)
So, stellen wir uns nun also auf den Standpunkt, daß wir die Matrix [mm] _BM(F)_A [/mm] suchen, welche wir mit Koordinatenvektoren bzgl. A füttern, und die uns dann das Bild in Koordinaten bzgl B liefert.
Wie kommen wir zu der? Die Matrix [mm] _EM(F)_E [/mm] verarbeitet und liefert ja nur Vektoren in der Standardbasis.
Der Trick: wir müssen die Vektoren mundgerecht zubereiten: wir schalten vor die Matrix [mm] _EM(F)_E [/mm] eine Matrix [mm] _ET_A, [/mm] die Koordinaten bzgl A in solche bzgl E verwandelt:
[mm] _EM(F)_E*_ET_A. [/mm] Dieses Konstrukt können wir mi Koordinatenvektoren bzgl A füttern, und es liefert das Bild in Standardkoordinaten.
Nun schalten wir eine Matrix [mm] _BT_E [/mm] nach, die die Standardkoordinaten in Koordinaten bzgl. B verwanadelt: [mm] _BT_E*_EM(F)_E*_ET_A [/mm] ergibt dann die gesuchte Matrix [mm] _BM(F)_A.
[/mm]
Überlegen muß man sich noch, wie man die Transformationsmatrizen bekommt.
Ganz einfach - überleg Dir selbst warum: [mm] _ET_A [/mm] ist die Matrix, die die Vektoren von A in den Spalten enthält, und
[mm] _BT_E =(_ET_B)^{-1}
[/mm]
Probier jetzt mal, ob Du die darstellnde Matrix von F bzgl. A und B aufgestellt bekommst.
Willst Du das Bild von [mm] v:=1*a_1+1*a_2+1*a_3 [/mm] wissen, so mußt Du sie mit [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] multiplizieren, und natürlich bedenken, daß der ausgespuckte vktor in Koordinaten bzgl. b ist.
ich mache jetzt aber mal ein beispiel, was etwas besser zu Deinem Eingangspost paßt:
Sei V der VR der Polynome vom Höchstgrad 3, W der der Polynome vom Höchstgrad 2, und die Basen seien
A:=(1,1+x, [mm] 1+x+x^2, 1++x^2+x^3) [/mm] und B:=( x, 1+x, [mm] x^2).
[/mm]
Wir betrachten die Abbildung
[mm] F:V\to [/mm] W mit
F( [mm] a*1+b(1+x)+c(1+x+x^2)+d( 1+x^2+x^3))= [/mm] (a+b)x+(a-b)(1+x) + [mm] (d+2c)x^2.
[/mm]
In Darstellung mit Koordinatenvektoren sieht das so aus:
[mm] F(\vektor{a\\b\\c\\d}_{(A)})=\vektor{a+b\\a-b\\d+2c}_{(B)},
[/mm]
und die darstellende Matrix von F bzgl. A und B bekommt man dann sehr einfach:
[mm] _BM(F)_A=\vektor{1&1&0&0\\1&-1&0&0\\ 0&0&2&1}
[/mm]
Willst du das Bild von [mm] 1*1+2(1+x)+3(1+x+x^2)+4( 1+x^2+x^3) [/mm] wissen, rechnest Du [mm] \vektor{1&1&0&0\\1&-1&0&0\\ 0&0&2&1}* \vektor{1\\2\\3\\4} [/mm] und bedenkst, daß das Ergebnis ein Koordinatenvektor bzgl B ist.
Ich hoffe, daß die Vorgehensweise etwas klarer geworden ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 So 07.12.2008 | | Autor: | farnold |
> > 1.)
> > F ist ja nun in "expliziter Form" gegeben. Was bedeutet
> > dies genau?
>
> Wenn das so angegeben ist, dann sind die Vektoren, die bei
> F eingesetzt werden bzgl. der Standardbasis E gemeint .
>
> Es ist also F( [mm]\vektor{1\\2\\3}):= \vektor{3*1-3\\ 2+3*3\\ 1+2+3*3}=\vektor{0\\11\\12}.[/mm]
>
> Wenn Du die darstellende Matrix bzgl der Standardbasis
> haben willst, steckst Du in die Spalten der Matrix die
> Bilder der Basisvektoren (in Standardkoordinaten).
>
> Die darstellende Matrix bzgl E wäre also
>
> [mm]_EM(F)_E=\pmat{1&0&0\\1&2&0\\1&0&4}[/mm]
>
> Man füttert diese Matrix mit Vektoren bzgl der
> Standardbasis und bekommt das Bild in der Standardbasis.
>
super erstmal vielden dank für die tolle erklärung :)
auf einmal wirkt das thema gar nicht mehr so kompliziert
kurz wegen dem crossposting, als ich zuerst den link angegeben habe wo ich die frage schon einmal gestellt habe, kam immer eine Fehlermeldung nach einer halbenstunde erfolglosem rumprobieren hab ich dann den anderen Satz eingefügt und es ging :((
Müsste die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis/Kanonischen Basis/Einheitsmatrix nicht wiefolgt aussehen:
(3 0 -1)
(0 1 3)
(1 1 3)
wenn ich nun
(1,2,3) als Koordinaten bez. E schreibe bekomme ich (1,2,3) und wenn ich diese Koordinaten in meine Einheitsmatrix stecke bekomme ich (0,11,12) wie in der expliziten Form die ja auch bezüglich der Einheitsbasis gegeben ist.
>Wir betrachten die Abbildung
>
>$ [mm] F:V\to [/mm] $ W mit
>
>F( $ [mm] a\cdot{}1+b(1+x)+c(1+x+x^2)+d( 1+x^2+x^3))= [/mm] $ (a+b)x+
>(a-b)(1+x) + $ [mm] (d+2c)x^2. [/mm] $
>
>In Darstellung mit Koordinatenvektoren sieht das so aus:
>
>$ [mm] F(\vektor{a\\b\\c\\d}_{(A)})=\vektor{a+b\\a-b\\d+2c}_{(B)}, [/mm] $
>
Hättest du für F hier andere Basis für A und B gegeben, als die kanonische Basis, dann wäre doch F dennoch in Form bezüglich der "Einheitsvektoren" gegeben ( wie bei unserem ersten Beispiel), wenn ich das richtige verstanden habe.
aber nochmals vielen vielen dank !!! :))
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> Müsste die Abbildungsmatrix bezüglich der
> Standardbasis/Kanonischen Basis/Einheitsmatrix nicht
> wiefolgt aussehen:
>
> (3 0 -1)
> (0 1 3)
> (1 1 3)
>
Hallo,
ach Du liebe Zeit! Ja, natürlich, ich hab' da völlig falsch geguckt.
> wenn ich nun
>
> (1,2,3) als Koordinaten bez. E schreibe bekomme ich (1,2,3)
> und wenn ich diese Koordinaten in meine Einheitsmatrix
> stecke bekomme ich (0,11,12) wie in der expliziten Form die
> ja auch bezüglich der Einheitsbasis gegeben ist.
>
> >Wir betrachten die Abbildung
> >
> >[mm] F:V\to[/mm] W mit
> >
> >F( [mm]a\cdot{}1+b(1+x)+c(1+x+x^2)+d( 1+x^2+x^3))=[/mm] (a+b)x+
> >(a-b)(1+x) + [mm](d+2c)x^2.[/mm]
> >
> >In Darstellung mit Koordinatenvektoren sieht das so aus:
> >
> >[mm] F(\vektor{a\\b\\c\\d}_{(A)})=\vektor{a+b\\a-b\\d+2c}_{(B)},[/mm]
>
> >
>
> Hättest du für F hier andere Basis für A und B gegeben, als
> die kanonische Basis, dann wäre doch F dennoch in Form
> bezüglich der "Einheitsvektoren" gegeben ( wie bei unserem
> ersten Beispiel), wenn ich das richtige verstanden habe.
Ich weiß nicht recht, was Du hiermit meinst.
Hätte ich andere Basen C,D gegeben, so hätte die darstellende Matrix ein anderes Aussehen.
Ich hatte die Abbildung F ja passend zu den Basen A,B angegeben.
Gruß v Angela
Hätte ich die Standardbasis des Polynomraumes genommen, hätte man wie oben eine Basistransformation duchführen müssen.
>
> aber nochmals vielen vielen dank !!! :))
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
das stimmt nicht, dies ist ein Crosspost- wogegen es nichts einzuwenden gibt, solange daraufhingewiesen wird.
Gruß v. Angela
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