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| Aufgabe | Sei T aus [mm] Hom_{k}(\IR^{3},\IR^{2}) [/mm] gegeben durch die Abbildungsmatrix(bzgl. der Standardbasis)
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2 & -6 }
[/mm]
Bestimme Basis [mm] B_{1}={{u,v_{1},v_{2}}} [/mm] von [mm] \IR^{3} [/mm] und [mm] B_{2}={{w,w'}} [/mm] von [mm] \IR^{2}, [/mm] so dass [mm] KernT=, [/mm] BildT=<w> und T(u)=w |
Hallo,
also ich weiß wie man aus gegebenen Basen eine Abbildungsmatrix macht, aber wie es hier umgekehrt geht komme ich nicht drauf.
Also bitte ich um einen Tip oder eine kurze Erklärung wie ich das angeh!
danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Fr 23.05.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Sei T aus [mm]Hom_{k}(\IR^{3},\IR^{2})[/mm] gegeben durch die
> Abbildungsmatrix(bzgl. der Standardbasis)
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2 & -6 }[/mm]
> Bestimme Basis
> [mm]B_{1}={{u,v_{1},v_{2}}}[/mm] von [mm]\IR^{3}[/mm] und [mm]B_{2}={{w,w'}}[/mm] von
> [mm]\IR^{2},[/mm] so dass [mm]KernT=,[/mm] BildT=<w> und T(u)=w
> Also bitte ich um einen Tip oder eine kurze Erklärung wie
> ich das angeh!
Bestimme den Kern von T als Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems T * x = 0.
Eine parametrisierte Schreibweise dieser Lösungsmenge liefert idR sofort eine Basis. Damit hast du [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$.
[/mm]
Das Bild von T ergibt sich als Erzeugnis der Spalten. Durch elementare Spaltenumformungen ändert sich das Bild nicht, also erzeugst du 2 Nullspalten. Die verbleibende Spalte liefert sofort eine Basis des Bildes und damit w. (Das war sehr allgemein erklärt. Hier kann man natürlich irgendeine der Spalten nehmen)
Nun löse das LGS: T * x = w. Jede der Lösungen eignet sich für u.
LG
Will
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