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| Aufgabe | 1. Gegeben seien B = {b1,b2,b3,b4} und C = {c1,c2,c3} mit
b1 = (1,0,0,-1) b2 = (0,0,1,2) b3 = ( 2,2,1,3) b4 = (0,0,-1,1)
und
c1 = (1,3,1) c2 = (0,3,2) c3 = (2,1,-1)
Desweiteren sei
M = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 & 1 }
[/mm]
Die lineare Abbildung A [mm] \in Hom_{\IR}(\IR^{4},\IR^{3}) [/mm] sei durch A(x) = m * x für alle x [mm] \in \IR^{4} [/mm] definiert(wobei x als Spaltenvektoren aufgefasst wird).
(a) Zeigen Sie, dass B eine Basis von [mm] \IR^{4} [/mm] ist. (C ist eine Basis von [mm] \IR^{3}
[/mm]
(b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von A bezüglich der Basen B und C. |
Also a) ist mir klar und habe ich bereits bewiesen mit Linearer Unabhängigkeit und durch dimensionen...
Zu b) habe ich aber noch fragen, obwohl ich die Aufgabe auch schon gelöst habe.
Also zuerst wende ich b auf M an.
Da muss ich ja nur M * b rechen.
M * b = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 6 & -1 \\ 2 & -1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 8 & 2 }
[/mm]
Dazu aber schon eine Frage, was ist das überhaupt für eine Matrix? Wie heißt Sie?
Jedenfalls muss ich danach ja noch C auf die Matrix anweden.
Also
x1 * c1 + x2 * c2 + x3 * c3 = [mm] \pmat{ 0 \\ 2 \\ 2 }
[/mm]
x1 * c1 + x2 * c2 + x3 * c3 = [mm] \pmat{ 2 \\ -1 \\ 1 }
[/mm]
x1 * c1 + x2 * c2 + x3 * c3 = [mm] \pmat{ 6 \\ -2 \\ 8 }
[/mm]
x1 * c1 + x2 * c2 + x3 * c3 = [mm] \pmat{ -2 \\ -2 \\ 2 }
[/mm]
und hier die x1, x2, x3 berechnen welche dann meine Matrix A ergeben.
Meine weiteren Fragen:
Was ist das nun für eine Matrix A?
Und warum muss ich oben M * b rechnen und wenn ich dann c noch anwende diese Gleichungsysteme aufstellen?
Danke schonmal im Vorraus für die hoffentlich hilfreichen Antworten.
Mit Freundlichen Grüßen
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> 1. Gegeben seien B = {b1,b2,b3,b4} und C = {c1,c2,c3} mit
>
> b1 = (1,0,0,-1) b2 = (0,0,1,2) b3 = ( 2,2,1,3) b4 =
> (0,0,-1,1)
> und
> c1 = (1,3,1) c2 = (0,3,2) c3 = (2,1,-1)
>
> Desweiteren sei
> M = [mm]\pmat{ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 & 1 }[/mm]
>
> Die lineare Abbildung A [mm]\in Hom_{\IR}(\IR^{4},\IR^{3})[/mm] sei
> durch A(x) = m * x für alle x [mm]\in \IR^{4}[/mm] definiert(wobei
> x als Spaltenvektoren aufgefasst wird).
>
> (a) Zeigen Sie, dass B eine Basis von [mm]\IR^{4}[/mm] ist. (C ist
> eine Basis von [mm]\IR^{3}[/mm]
>
> (b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von A bezüglich der
> Basen B und C.
> Also a) ist mir klar und habe ich bereits bewiesen mit
> Linearer Unabhängigkeit und durch dimensionen...
>
> Zu b) habe ich aber noch fragen, obwohl ich die Aufgabe
> auch schon gelöst habe.
Hallo,
Du hast also eine lineare Abbildung A: [mm] \IR^4 \to \IR^3, [/mm] welche durch A(x):=Mx für alle [mm] x\in \IR^4 [/mm] definiert ist.
Damit können wir uns gleich einer Deiner Fragen zuwenden: M ist die darstellende Matrix der Abbildung A bzgl der Standardbasis. Du steckst Vektoren in Koordinaten bzgl der Standardbasis hinein, und bekommst ebensolche als Ergebnis.
Man möchte nun, daß Du die darstellende Matrix dieser Abbildung bzgl der Basen B und C bestimmst.
Was soll diese leisten? Sie soll Dir, wenn Du sie mit Vektoren in Koordinaten bzgl. B fütterst, Dir das Ergebnis in Koordinaten bzgl C liefern.
Um das zu erreichen, hast Du zwei Möglichkeiten, welche sich nur auf den ersten Blick unterscheiden.
A: durch die Bestimmung der Bilder der Basisvektoren v. B
Du weißt, daß eine lineare Abbildung eindeutig definiert ist durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis, ebenso solltest Du wissen, daß man die darstellende Matrix bekommt, indem man die Bilder der Basisvektoren als Koordinatenvektoren bzgl der gewünschten Basis als Spalten in die Matrix schreibt.
Willst Du dies hier durchführen, mußt Du jeweils [mm] Mb_i [/mm] berechnen, und das Ergebnis dann als Linearkombination der [mm] c_j [/mm] darstellen. Die Koeffizienten sind die Eintrage des Koordinatenvektors bzgl. C,
welche als Spalte in die aufzustelelnde Matrix kommen.
B: durch Multiplikation der darstellenden Matrix mit den passenden Transformationsmatrizen
Die Matrix M liefert Dir ja die Funktionswerte für Vektoren, die Du bzgl. der Standardbasis v. [mm] \IR^4 [/mm] hineinsteckst, in Koordinaten bzgl der Standardbasis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Du möchtest nun aber eine Matrix haben, die Du mit Vektoren bzgl B füttern kannst.
Was tut man? Man transformiert zuerst einen bzgl B gegebenen Vektor in Koordinaten bzgl der Standardbasis, in dieser Form kann ihn M dann "fressen".
Diese Transformation ist sehr einfach: Steck in eine Matrix [mm] T_{_4E}^{B} [/mm] einfach die Elemente v. B als Spalten.
Mit [mm] MT_B^{_4E} [/mm] hast Du die Matrix, welche Du mit Vektoren bzgl B füttern kannst, die Ausgabe erfolgt in Koordinaten bzgl. [mm] E_3 [/mm] (Standardbasis). (Und dies ist die Matrix, die Du mit Mb bezeichnest.)
Da Du das nicht möchtest, mußt Du nun noch die erhaltenen Vektoren in Koordinaten bzgl C transformieren. Auch hierfür kannst Du eine Transformationsmatrix verwenden.
Die Matrix, die von C nach E transformiert, [mm] T_{E_3}^{C}, [/mm] ist wieder sehr einfach, die Vektoren v. C als Spalten. Du benötigst ihr Inverses: [mm] T_C^{E_3}=(T_{E_3}^{_C})^{-1}.
[/mm]
Mit [mm] (T_{E_3}^{_C})^{-1}MT_{_4E}^{B} [/mm] hast Du die gesuchte Matrix gefunden.
> Also zuerst wende ich b auf M an.
> Da muss ich ja nur M * b rechen.
> M * b = [mm]\pmat{ 0 & 2 & 6 & -1 \\ 2 & -1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 8 & 2 }[/mm]
>
> Dazu aber schon eine Frage, was ist das überhaupt für eine
> Matrix? Wie heißt Sie?
Es ist die darstellende Matrix der Abbildung A bzgl der Basen B und [mm] E_3.
[/mm]
>
> Jedenfalls muss ich danach ja noch C auf die Matrix
> anweden.
Deine Ausdrucksweise ist etwas kurios, sei da bitte präziser.
Du mußt die erhaltenen Vektoren in Koordinatenvektoren bzgl C umwandeln,
und das ist der Prozeß, den oben die Matrix [mm] (T_{E_3}^{_C})^{-1} [/mm] für Dich übernimmt.
Gruß v. Angela
> Also
> x1 * c1 + x2 * c2 + x3 * c3 = [mm]\pmat{ 0 \\ 2 \\ 2 }[/mm]
>
> x1 * c1 + x2 * c2 + x3 * c3 = [mm]\pmat{ 2 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
>
> x1 * c1 + x2 * c2 + x3 * c3 = [mm]\pmat{ 6 \\ -2 \\ 8 }[/mm]
>
> x1 * c1 + x2 * c2 + x3 * c3 = [mm]\pmat{ -2 \\ -2 \\ 2 }[/mm]
>
> und hier die x1, x2, x3 berechnen welche dann meine Matrix
> A ergeben.
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Vielen vielen Dank für die hilfreiche ausführliche Antwort.
Jetzt weiß ich auch was ich da mache!
danke danke
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