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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:41 So 09.01.2005 | | Autor: | downer |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe folgende Aufgabe: Gegeben sind [mm] f_{1}:= \vektor{1 \\ 2\\-3}, [/mm]
[mm] f_{2}:= \vektor{0 \\1\\1}, f_{3}:= \vektor{-1 \\ 2\\8}
[/mm]
Bestimmen Sie die Matrix S der Koordinatentransformation von der Standardbasis [mm] B_{1}:=\{e_{1},e_{2},e_{3} \} [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] nach [mm] B_{2}:=\{f_{1},f_{2},f_{3} \}.
[/mm]
So, nun kann ich ja S so berechnen: S = [mm] K_{B2} \circ K_{B1}^{-1}
[/mm]
Aber ich habe keine Ahnung, wie ich auf diese Matrizen kommen soll?
Kann mir da wer helfen?
Die Lösung liegt mir zwar vor : [mm] K_{B1}=I_{3}, K_{B2} [/mm] = [mm] \pmat{ 6 & -1 & 1 \\ -22 & 5 & -4 \\ 5 & -1 & 1} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] S = [mm] \pmat{ 6 & -1 & 1 \\ -22 & 5 & -4 \\ 5 & -1 & 1} [/mm]
Aber ich habe keine Ahnung, wie ich auf diese Matrizen kommen soll.
Kann mir da jemand helfen, wie ich die berechnen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 So 09.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also ich erkläre es erstmal anschaulich:
Du willst diejenige Matrix, die folgende Eigenschaft hat:
1)Wenn du den ersten Einheitsvektor reinsteckst, soll dieser auch wieder rauskommen (*), ABER dieser soll ich der neuen Basis dargestellt sein.
[Also die Koeffizienten anpassen]
zu (*):es soll ja nur eine Koordinatentransformation sein - also die Identität - keine Abbildung, die mehr macht
2) wenn du den zweiten Einheitsvektor reinsteckst, soll dieser in der neuen Basis rauskommen
3) beim dritten genau so
wenn du aber den i-ten Standard-Basisvektor reinsteckst erhälst du gerade die i-te Spalte, also musst du den i-ten Standard-Basisvektor in deiner neuen Basis darstellen und die Koeffizienten in die i-te Spalte schreiben:
zu 1)
du musst lösen:
$ [mm] \vektor{1 \\ 0\\0}=x_{1}*f_{1}+x_{2}*f_{2}+x_{3}*f_{3} [/mm] $
Das ist ein 3*3 Gleichungssytem und du wirst gerade
$ [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\x_{3} }=\vektor{6 \\ -22\\5} [/mm] $
heraus bekommen.
bei 2) und 3) analog
hoffe, es ist jetzt verständlich geworden, wie man auf die Zahlen kommt.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 09.01.2005 | | Autor: | downer |
Was ich jetzt immer noch nicht so ganz verstanden habe, wie ich (allgemein) auf die Matrizen [mm] K_{B1}^{-1} [/mm] und [mm] K_{B2} [/mm] komme.
In diesem Beispiel hier sieht es so aus, als ob ich dafür nur die Vektoren der Basen als Spaltenvektoren von [mm] K_{Bx} [/mm] hinschreiben muss.
Aber in meinem Beispiel wurde das nicht so gemacht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 So 09.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
> In diesem Beispiel
> hier sieht es so
> aus, als ob ich dafür nur die Vektoren der Basen als
> Spaltenvektoren von [mm]K_{Bx}[/mm] hinschreiben muss.
ich weiß nicht genau, wie deine K_Bs definiert sind.
aber überleg nochmal ganz genau:
wenn du in die von dir beschriebener Matrix den ersten Standardvektor (=koeffizienten bzgl. irgendeiner- nicht unbedingt Standard-Basis)
was erhälst du dann?
Die Basis darstellung der Basis bzgl der Standardbasis !
du steckst also $ [mm] f_{1} [/mm] bzgl. [mm] B_{2} [/mm] $ rein und erhälst $ [mm] f_{1} [/mm] bzgl [mm] B_{1} [/mm] $
Du willst aber genau das Gegenteil, also musst du diese Matrix invertiereb und erhälst eben die, die du auch ausrechnen kannst.
Wie gesagt : ich weiß nicht genau, was deine K_Bs seien sollen, deshalb kann ich dazu wenig sagen. Man sollte sich aber immer im Klaren darüber sein, was die einzelnen Matrizen tun müssen.
EDIT: jetzt sehe ich, was deine Matrizen sein sollen: S soll trafo von Basis B1 nach Basis B2 sein, dann
S=X*Y , wobei Y von B1 nach Standardbasis geht (also einfach die Vektoren von B1 reinschreiben)
und X von Standard nach B2 = inverse von (B2 nach standard)
du hast dein hoch -1 in folgender Formel falsch gesetzt, wenn ich das jetzt richtig sehe:
$ [mm] K_{B2} \circ K_{B1}^{-1} [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 So 09.01.2005 | | Autor: | downer |
Naja bei den [mm] K_{Bs} [/mm] handelt es sich um die Koordinatenabbildungen bezüglich unterschiedlicher Basen.
Man steckt einen Vektor aus einem Vektorraum hinein und bekommt die Koordinatenabbildung bezüglich einer Basis.
Ich werd mir das ganze mal durch den Kopf gehen lassen.
Danke erstmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 So 09.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
> Naja bei den [mm]K_{Bs}[/mm] handelt es sich um die
> Koordinatenabbildungen bezüglich unterschiedlicher Basen.
dann sollten aber zwei Basen dran stehen !
beachte bitte noch meinen Edit oben - ich denke, deine [mm]K_{Bs}[/mm] sind die Darstellungen der vektoren aus Bs bzgl. kanonischer Basis.
Dann würde es auch sinn machen, wenn man zwei Basen bzgl. kanonischer gegeben hat, denn dann gilt:
$ [mm] K_{B2}^{-1} \circ K_{B1} [/mm] $
btw: es reicht vollkomen aus, wenn B1 und B2 bzgl irgendeiner, aber derselben Basis gegeben ist, dann gilt obige Formel für die Koordinatentransformation.
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