Abbildungsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:41 Di 26.09.2006 | | Autor: | anda |
| Aufgabe | Es sei die lineare Abbildung $f: [mm] \IR^3 \to \IR^3$ [/mm] gegeben durch [mm] $f((1,1,1)^t)=(2,-1,4)^t$, $f((1,1,0)^t)=(3,0,1)^t$ [/mm] und [mm] $f((1,0,0)^t)=(-1,5,1)^t$. [/mm] Bestimme die zugehörige Abbildungsmatrix bezüglich
a) der Standardbasis
b) der Basis [mm] $(e_{1}+2e_{2},e_{2}-e_{3},e_{1}+2e_{2}+e_{3})$ [/mm] |
Hallo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich weiss, wie ich die Abbildungsmatrix bezüglich der Standartbasis (also ich nehme an, dass damit [mm] e_{1},e_{2},e_{3} [/mm] gemeint sind) herausbekomme wenn ich die Abbildung gegeben habe. Hier ist ja aber das Problem, dass ich zuerst rausfinden muss, wie die Abbildung überhaupt aussieht, also irgendwie eine Darstellung in der Form von f(x,y,z)=.... bekommen muss. Ich habe versucht, alle Werte in eine Matrix zu füllen und dann mal drauflosgerechnet, aber das war wohl falsch. Mit erraten funktionierts auch nicht. Kann mir dabei jemand helfen? Wäre sehr froh!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Di 26.09.2006 | | Autor: | anda |
Hallo DaMenge
Vielen Dank für Deine Antwort. Jetzt habe ich aber trotzdem noch eine Frage: Ich bin nicht sicher: Ich habe [mm] f(e_{3}) [/mm] berechnet wie Du's in a) vorgeschlagen hast. Kann ich nun schreiben:
[mm] f(\vektor{ e_{1} \\ e_{2}\\e_{3}}=\pmat{ -1 & 5 & 1 \\ 4 & -5 & 0 \\ 1 & -2 & 4 }?
[/mm]
Und dann kann ich die Abbildungsmatrix so berechnen,dass ich einfach sage:
[mm] \pmat{ -1 & 5 & 1 \\ 4 & -5 & 0 \\ 1 & -2 & 4 }= \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 }*\vektor{e1 \\ e2 \\e3}, [/mm] dann die rechte Seite der Gleichung ausrechne und dann schaue, welche Werte die a's annehmen müssen indem ich diese neue Matrix mit der auf der linken Seite der Gleichung vergleiche?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Di 26.09.2006 | | Autor: | anda |
Hallo nochmal
Ich glaub, das was ich vorher geschrieben habe, ist Quatsch. Das ist schon die Abbildungsmatrix (wenn ich e1, e2,e3 untereinander schreibe), oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Di 26.09.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> [mm]f(\vektor{ e_{1} \\ e_{2}\\e_{3}}=\pmat{ -1 & 5 & 1 \\ 4 & -5 & 0 \\ 1 & -2 & 4 }?[/mm]
was willst du denn damit sagen?!?
die Vektoren [mm] e_1 [/mm] bis [mm] e_3 [/mm] sind doch schon 3dimensional - wenn du sie jetzt einfach untereinander schreibst, hast du einen vektor der Dimension 9.
Oder wolltest du nur irgendwie die Bilder der [mm] e_i [/mm] aufschreiben?
Dann aber bitte jeweils einzeln, so wie ich es oben auch mal getan hatte, denn deine Gleichung ergibt ohne jegliche Erklärung erstmal keinen Sinn.
Die Abbildungsmatrix kannst du dir dann nach dem wichtigen Satz zusammenschreiben:
"Die SPALTEN der Darstellungsmatrix sind die Bilder der Basisvektoren"
also die erste SPALTE ist [mm] $\vektor{-1\\5\\1}$
[/mm]
deine dritte Zeile (also das Bild von [mm] e_3 [/mm] ) sieht übrigens noch falsch aus, denn du musst die Linearität für [mm] $e_3=b_1 [/mm] - [mm] b_2$ [/mm] ausnutzen.
bei der b) kannst du die Bilder natürlich dann direkt aus den Bildern von [mm] e_1 [/mm] bis [mm] e_3 [/mm] zusammen setzen (Linearität ausnutzen) und sie dann als SPALTEN in deine Matrix schreiben.
viele grüße
DaMenge
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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Darstellungsmatrix