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| Aufgabe | Es sei [mm] $f:M\to [/mm] N$ eine Abbildung und [mm] $M_1,M_2\subseteq [/mm] M$ sowie [mm] $N_1,N_2\subseteq [/mm] N$. Zeigen Sie:
a) [mm] $f\left(M_1\cap M_2\right)\subseteq f\left(M_1\right)\cap f\left(M_2\right)$; [/mm] falls $f$ injektiv ist, sind die beiden Mengen gleich. |
Ich bin's noch mal,
[mm] $f\left(M_1\cap M_2\right)$
[/mm]
Seien [mm] $y\in f\left(M_1\cap M_2\right)\wedge [/mm] f(x)=y$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x\in\left(M_1\cap M_2\right)\wedge [/mm] f(x)=y$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x\in M_1 \wedge x\in M_2\wedge [/mm] f(x)=y$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\left(x\in M_1\wedge f(x)=y\right) \wedge \left(x\in M_2\wedge f(x)=y\right)$
[/mm]
Aber jetzt hätte ich ja die Gleichheit gezeigt, und nicht [mm] $\subseteq$!
[/mm]
Vieeelen Dank,
Lotti.
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> Es sei [mm]f:M\to N[/mm] eine Abbildung und [mm]M_1,M_2\subseteq M[/mm] sowie
> [mm]N_1,N_2\subseteq N[/mm]. Zeigen Sie:
>
> a) [mm]f\left(M_1\cap M_2\right)\subseteq f\left(M_1\right)\cap f\left(M_2\right)[/mm];
> falls [mm]f[/mm] injektiv ist, sind die beiden Mengen gleich.
> Ich bin's noch mal,
>
> [mm]f\left(M_1\cap M_2\right)[/mm]
>
> Seien [mm]y\in f\left(M_1\cap M_2\right)\wedge f(x)=y[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]x\in\left(M_1\cap M_2\right)\wedge f(x)=y[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]x\in M_1 \wedge x\in M_2\wedge f(x)=y[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\left(x\in M_1\wedge f(x)=y\right) \wedge \left(x\in M_2\wedge f(x)=y\right)[/mm]
>
> Aber jetzt hätte ich ja die Gleichheit gezeigt, und nicht
> [mm]\subseteq[/mm]!
Hallo,
ich rate Dir dringend davon ab, beim Lösen von solchen Aufgaben Äquivalnzpfeile zu setzen.
Mach beide Richtungen fein säuberlich getrennt, und wenn Du dann am Ende feststellst, daß Du genausogut hättest umdrehen können, kannst Du's ja für die Abgabe mit den Äquivalenzpfeilen aufschreiben.
Mit "fein säuberlich" meine ich nicht Deine Schrift, sondern die Argumentation. Nicht Sachen wie "es gibt" oder "für alle" weglassen.
Daran liegt es nämlich hier, daß Dir die Aussagen äquivalent vorkommen, obgleich sie es nicht sind.
Noch was anderes:
Am Anfang schreibst Du
> Seien [mm]y\in f\left(M_1\cap M_2\right)\wedge f(x)=y[/mm].
Das geht so nicht, denn Du hantierst mit einem x, dessen Existenz Du noch gar nicht erklärt hast.
Schreib so:
Seien [mm][mm] y\in f\left(M_1\cap M_2\right)
[/mm]
==> es gibt ein [mm] x\in M_1\cap M_2 [/mm] mit f(x)=y
und dann kann's munter weitergehen.
Versuch dann mal, ebenso pingelig die Umkehrung zu zeigen.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank schon mal,
[mm] $y\in f\left(M_1\cap M_2\right)\Rightarrow \exists x\in\left(M_1\cap M_2\right):f(x)=y\Rightarrow f\left(x\in\left(M_1\cap M_2\right)\right)=y\Rightarrow f\left(x\in M_1\right)\wedge f\left(x\in M_2\right)=y$
[/mm]
Ist das so richtig? Bin da sehr ideenlos was ich machen muss und wie ich die Teilmengenbeziehung zeige.
Dankeschön
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> [mm] f\left(x\in\left(M_1\cap M_2\right)\right)
[/mm]
Hallo,
habt Ihr sowas in der Vorlesung definiert?
Ich denke: keinesfalls.
Eine Funktion kannst Du anwenden auf Elemente der Definitionsmenge,
definiert habt Ihr außerdem sicher das Bild einer Menge A unter der Abbildung f, also f(A).
Das, was Du oben schreibst, gibt es nicht.
Der Teufel hat Dir ja vorgemacht, wie es richtig geht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 So 08.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich würde das so machen:
$y [mm] \in f(M_1 \cap M_2)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in (M_1 \cap M_2): [/mm] f(x)=y$
[mm] $\Rightarrow (\exists [/mm] x [mm] \in M_1: [/mm] f(x)=y) [mm] \wedge (\exists [/mm] x [mm] \in M_2: [/mm] f(x)=y)$
[mm] $\Rightarrow [/mm] (y [mm] \in f(M_1)) \wedge [/mm] (y [mm] \in f(M_2))$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] y [mm] \in (f(M_1) \cap f(M_2))$
[/mm]
Aus $y [mm] \in f(M_1 \cap M_2)$ [/mm] folgt also $y [mm] \in (f(M_1) \cap f(M_2))$, [/mm] daher ist [mm] $f(M_1 \cap M_2) \subseteq f(M_1) \cap f(M_2)$.
[/mm]
Umdrehen kannst du alle Schritte bis auf
[mm] $(\exists [/mm] x [mm] \in M_1: [/mm] f(x)=y) [mm] \wedge (\exists [/mm] x [mm] \in M_2: [/mm] f(x)=y) [mm] \Rightarrow [/mm] (y [mm] \in f(M_1)) \wedge [/mm] (y [mm] \in f(M_2))$, [/mm] denn das geht nur, wenn f injektiv ist. Du findest sicher raus, warum das so ist.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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vielen Dank euch, jetzt hab ich da auch n Gespür für, wie man da ran geht!
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