Abbildungen mit Zahlenpaaren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bräuchte einen kleinen Tipp, wie ich Aufgaben der folgenden Form knacken kann. (bin WiMa-Studi im 1. Sem.)
Genauer Wortlaut:
Prüfe, welche der folgenden Abbildungen f: [mm] \IR \times \IR \to \IR \times \IR [/mm] injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv sind.
Dann folgen derartige Aufgaben:
1.) f(x,y) = (x+y², y+2)
2.) f(x,y) = (xy, x+y)
Kann mich jemand in die richtige Richtung stuppsen, wie ich das auseinandernehme und untersuchen kann oder auch Links nennen, die solche Aufgaben bearbeiten?
Bei Abbildungen mit einem Argument habe ich es noch wunderbar verstanden, aber hier verlassen sie mich grad. ^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß und vielen Dank
Aniruddha
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Hallo!
> Genauer Wortlaut:
> Prüfe, welche der folgenden Abbildungen f: [mm]\IR \times \IR \to \IR \times \IR[/mm]
> injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv sind.
>
> Dann folgen derartige Aufgaben:
> 1.) f(x,y) = (x+y², y+2)
> 2.) f(x,y) = (xy, x+y)
>
> Kann mich jemand in die richtige Richtung stuppsen, wie ich
> das auseinandernehme und untersuchen kann oder auch Links
> nennen, die solche Aufgaben bearbeiten?
> Bei Abbildungen mit einem Argument habe ich es noch
> wunderbar verstanden, aber hier verlassen sie mich grad.
> ^^
Wenn du das mit einer Variablen kannst, dann schaffst du das auch mit Zweien. Für die Injektivität musst du nun zeigen (oder widerlegen), dass für [mm] (x,y)\not=(x',y') [/mm] folgt: [mm] f(x,y)\not=f(x',y'). [/mm] Nimm also zwei Elemente (x,y) und (x',y'), schreibe das Bild davon auf, also im ersten Fall [mm] (x+y^2,y+2) [/mm] bzw. $(x'+y'^{2},y'+2)$ und zeige, dass es verschieden ist, wenn [mm] (x,y)\not=(x',y') [/mm] oder gib ein Gegenbeispiel.
Bei der Surjektivität geht das genauso - du musst zeigen, dass alle [mm] (x,y)\in\IR [/mm] ein Urbild haben, also ein (a,b) [mm] \in\IR [/mm] existiert, für das gilt: f(a,b)=(x,y) (ich hoffe, ich habe mich hier jetzt nicht vertan!?).
Probierst du es damit mal? Kannst auch gerne deine Ergebnisse posten.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo und vielen Dank für die rasche Antwort!
Allerdings komme ich der Lösung noch immer nicht näher. Einige Sachen kann man ja - wie Du sagtest - im Vorfeld eh schon ausschliessen. So sieht man schnell, dass die 2.) nicht injektiv ist. (Wähle x1=1, y1=10 und x2=10, y2=1)
Bei der ersten sieht die Sache aber schon anders aus. Da bin ich mir recht sicher, dass es mindestens eine injektive Abbildung ist.
Aber wie untersuche ich das genau?
Nehme ich mir die Funktionen im Einzelnen vor?
Nehme ich also f(x)=x+y² und prüfe sie und dann f(y)=y+2 und folgere aus den Ergebnissen, oder wäre das falsch?
Es fällt mir nämlich unheimlich schwer zwei Argumente gleichzeitig durch beide f (es sind doch zwei, oder??) zu schicken und dann per Faser oder Definition zurückzuschicken.
Gruß
Aniruddha
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> Hallo und vielen Dank für die rasche Antwort!
> Allerdings komme ich der Lösung noch immer nicht näher.
> Einige Sachen kann man ja - wie Du sagtest - im Vorfeld eh
> schon ausschliessen. So sieht man schnell, dass die 2.)
> nicht injektiv ist. (Wähle x1=1, y1=10 und x2=10, y2=1)
>
> Bei der ersten sieht die Sache aber schon anders aus. Da
> bin ich mir recht sicher, dass es mindestens eine injektive
> Abbildung ist.
>
> Aber wie untersuche ich das genau?
> Nehme ich mir die Funktionen im Einzelnen vor?
> Nehme ich also f(x)=x+y² und prüfe sie und dann f(y)=y+2
> und folgere aus den Ergebnissen, oder wäre das falsch?
Hallo, ich zeig Dir's mal.
Was hat man zu zeigen für injektiv? Wenn zwei Funktionswerte gleich sind, folgt daraus die Gleichheit der Argumente. Das ist prinzipiell klar, oder ? Ganz unabhängig von der hier vorliegenden Funktion, meine ich.
Jetzt nehmen wir uns zwei Argumente her:
Seien (a,b), (b,c) [mm] \in \IR^2, [/mm] (Denn unsere Argumente kommen bei f nicht aus [mm] \IR, [/mm] sondern aus [mm] \IR^2. [/mm] Es sind Zahlenpaare, die wir hier einsetzen.)
und es gelte f((a,b))=f((c,d)) (d.h. zu den beiden Zahlenpaaren soll derselbe Funktionswert gehören)
[mm] ==>(a+b^2,b+2)=(c+d^2,d+2) [/mm] (Wann sind zwei Zahlenpaare gleich? Wenn ihre Komponenten gleich sind. also folgt)
[mm] ==>a+b^2=c+d^2 [/mm] und b+2=d+2 (Lösen der Gleichungen)
==> b=d und a=c
==> (a,b)=(c,d) (gleiche Komponenten, also Zahlenpaare gleich)
Also ist f injektiv.
Für surjektiv nimmst Du Dir ein beliebiges Element (x,y) des [mm] \IR^2 [/mm] und schaust, ob Du in jedem Fall ein (a,b) [mm] \in \IR^2 [/mm] findest mit
[mm] f(a,b)=(a+b^2, [/mm] b+2)=(x,y). Ob Du also jedes Element des Wertebereiches triffst.
Gruß v. Angela
>
> Es fällt mir nämlich unheimlich schwer zwei Argumente
> gleichzeitig durch beide f (es sind doch zwei, oder??) zu
> schicken und dann per Faser oder Definition
> zurückzuschicken.
>
> Gruß
> Aniruddha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Aniruddha |
Vielen Dank!
Nun weiss ich auch, woran es gehapert hat und die Dinger sind schon viel leichter zu zerpflücken! =)
Echt klasse!
Lediglich bei dem Beweis für Surjektivität bin ich noch unsicher, ob ich richtig verfahre, wenn ich das per Fallunterscheidungen mache.
Gruß
Aniruddha
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