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| Aufgabe | | Sei [mm] K=\IF_{2}. [/mm] Wieviele Abbildungen [i] f [mm] [\i]: K^{2} \to K^{2} [/mm] gibt es? Wieviele davon sind linear? |
Hier bin ich etwas überfragt.. Also der erste Teil der Fragestellung ist mir unklar: Abbildungen sind das die Vorschriften? Deren gibt es doch unendlich viele, oder? Oder lassen sich die aufeinander zurück führen (da 2=0 in [mm] \IF_{2})? [/mm] Bilder gibt es ja 4 verschiedene (1,0), (0,1), (0,0) und (1,1). Könnt ihr mir da etws helfen?
Dann zu Teil 2.. Also die Form für lineare Abbildungen ist doch f(x,y)=(ax+by,cx+dy). Dann würde ich sagen es gibt 13 lineare Abbildungen.
Nun ja ich wäre wirklich sehr froh um Unterstützung.. Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Do 04.01.2007 | | Autor: | Stoecki |
zunächst hast du recht. es ist zu beachten das 2=0 ist... was muss für linearität gelten? also zunächst muss wegen a*f(x)=f(ax) mit a aus K und x aus [mm] \IF_{2} [/mm] gelten das f(0)=0 ist, da f(0)= f(0*x)=0*f(x)=0 gilt.
nächste frage.. welche werte kann a aus dem Körper K haben... nur 0 oder 1 da unser Körper wieder der [mm] \IF_{2} [/mm] ist.
setzten wir einmal y fest... auf was kann man x noch schicken wenn wir den vektor [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] betrachten?
es gibt die möglichkeiten Ihn auf den oberen eintrag, auf den unteren eintrag, auf beide oder komplett auf die null zu schicken.... analog gilt dies für y
also haben wir 4 mal 4 möglichkeiten eine lineare abildung mit der addition zu erzeugen... nämlich folgende: f( [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] )=
[mm] \vektor{x \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] , [mm] \vektor{x \\ x} [/mm] , [mm] \vektor{x \\ x+y} [/mm] , [mm] \vektor{y \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{y \\ x} [/mm] , [mm] \vektor{y \\ y} [/mm] , [mm] \vektor{y \\ x+y} [/mm] , [mm] \vektor{x+y \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{x+y \\ x} [/mm] , [mm] \vektor{x+y \\ y} [/mm] , [mm] \vektor{x+y \\ x+y} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ x+y} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ x} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ y} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Die multiplikativen möglichkeiten ergeben sich aus den additiven da aufgrund des [mm] \IF_{2} [/mm] Körpers diese gleich einigen der additiven sind.
PS: das erste ist hart. aber dran bleiben lohnt sich 
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Erst mal vielen herzlichen Dank.. Sehr nett, dass du dir Zeit genommen hast für einen so chaotischen Ersti wie mich =)
Nun die Abbildungen leuchten mir ein, ich muss mich also nur rein formal um diese Vorschriften kümmern? Es ist in der Aufgabenstellung nicht relevant ob einige dieser Möglichkeiten identisch sind, oder?
Dann die ersten paar Zeilen.. Dies ist einfach die Erklärung warum die Vorschrift (x,1) nicht linear ist, oder wie ist das zu verstehen?
Nicht lineare Abbildungen wären dann einfach noch
(x,1), (y,1), (0,1), (x+y,1), (1,x), (1,y), (1,0), (1,x+y), (1,1) und (xy,0), (xy,x), (xy,y), (xy,1), (xy,xy), (0,xy), (1,xy), (x,xy), (y,xy)
Also es gibt insgesamt 35 Abbildungen davon sind 16 linear?
Vielen Dank für die Hilfe!!!
p.s. Ja das Durchhalten fällt mir doch oft sehr schwer... Aber wenn man so was hört.. =) Hat mich wirklich motiviert..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Fr 05.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
was immer wieder gerne übersehen wird, ist, dass Abbildungen nicht immer nur durch Rechenausdrücke gegeben sind. Zum Beispiel ist die Vorschrift
[mm]
f : \IF_{2}^2 \to \IF_{2}^2, \;
f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} (1,0), & \mbox{wenn } x = y = 1 \\
(1,1), & \mbox{sonst }
\end{array}\right.
[/mm]
auch eine Abbildung. Und zwar eine, die in Deiner Liste anscheinend nicht auftaucht (ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet - es gibt aber noch ein paar mehr, die fehlen). Vielleicht wäre es hilfreich, wenn Du Dich von den Rechnenausdrücken etwas löst, und überlegst, was eine Abbildung eigentlich tut. (In diesem Fall einfach jedem der vier Elemente aus [mm] $\IF_2^2$ [/mm] ein Element aus [mm] $\IF_2^2$ [/mm] zuordnen).
Hoffe, das hilft.
PS: Die linearen Abbildung kann man am einfachsten zählen, wenn man sich an den Zusammenhang mit Matrizen erinnert.
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Vielen Dank für die Antwort.. Nun sieht das Ganze natürlich wieder anders aus.. Ich habe solche Abbildungen wie dein beispiel tatsächlich nicht berücksichtigt *ups* Gibt es überhaupt eine Möglichkeit alle Abbildungen zu zählen?
Zu den linearen Abbildungen:
Reicht es nicht wenn ich sage, lineare Abbildungen f: [mm] K^{2} \to K^{2} [/mm] müssen von der Art f(x,y)=(ax+by,cx+dy) sein. Da a,b,c,d [mm] \in {\1,0\} [/mm] gibt es [mm] 2^{4} [/mm] = 16 lineare Abbildungen.
Vielen Dank für die Mühe..
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Nur eine kurze Korrektur:
also a,b,c,d [mm] \in \{1,0\}
[/mm]
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Moin zusammen,
falls A und B endliche Mengen sind, so ist die Zahl der Abbildungen von A nach B gleich [mm] |B|^{|A|}.
[/mm]
Weiterhin stimmt die Zahl 16, das Argument kannst Du wirklich, wie Dir beeits im Diskussionsstrang vorgeschlagen wurde,
mittels des Zusammenhangs zw. linearen Abbildungen und Matrizen führen, oder äquivalent mittels der Bemerkung,
daß eine lineare Abbildung schon durch die Bilder der Vektoren einer Basis bestimmt ist.
Gruss,
Mathias
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