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| Aufgabe | | Seien [mm] \lambda,\mu \in \IC [/mm] und sei T:= [mm] \IC->\IC [/mm] die Abbildung mit [mm] T(z)=\lambda*z+\mu*\overline{z}. [/mm] Man zeige, dass |T(z)|=|z| für alle z [mm] \in \IC [/mm] genau dann gilt, wenn [mm] \lambda*\mu=0 [/mm] und [mm] |\lambda+\mu|=1 [/mm] |
Hallo,
Die Rückrichtung habe ich bereits, und auch, dass aus der Gleichung folgt, dass |T(z)| = |z| => [mm] |\lambda [/mm] + [mm] \mu| [/mm] = 1.
Wie zeige ich aber, dass aus der Gleichung auch [mm] \lambda*\mu=0 [/mm] folgt?
Schon mal vielen Dank für die Antwort
fg
Chrissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 So 02.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt ja:
|T(z)|=|z|
Mit a+bi=:z ergibt sich:
[mm] |z|=|\lambda*z+\mu*\overline{z}|
[/mm]
[mm] =|\lambda*(a+bi)+\mu*\overline{(a+bi)}|
[/mm]
[mm] =|\lambda*(a+bi)+\mu*(a\red{-}bi)|
[/mm]
[mm] =|\lambda*a-i*\lambda*b+\mu*a-i*\mu*b|
[/mm]
[mm] =|(\lambda+\mu)a-i(\lambda-\mu)b|
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Kommst du damit erstmal weiter? Bedenke, dass [mm] |\lambda+\mu|=1
[/mm]
Marius
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Hallo,
danke für die Antwort, aber dass aus der Gleichung [mm] |\lambda+\mu| [/mm] = 1 folgt hab ich ja auch schon gezeigt, aber auf deine Weise bekomme ich ja nicht die Bedingung, dass aus |T(z)| = |z| folgt [mm] \lambda*\mu [/mm] = 0. Und das muss ich ja noch zeigen.
Dass aus |T(z)| = |z| [mm] |\lambda+\mu| [/mm] = 1 folgt und wenn beide Bedingungen gelten, dass dann |T(z)| = |z| folgt, habe ich ja bereits gezeigt.
fg
Chrissi
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Hallo Christina,
> Hallo,
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> danke für die Antwort, aber dass aus der Gleichung
> [mm]|\lambda+\mu|[/mm] = 1 folgt hab ich ja auch schon gezeigt, aber
> auf deine Weise bekomme ich ja nicht die Bedingung, dass
> aus |T(z)| = |z| folgt [mm]\lambda*\mu[/mm] = 0. Und das muss ich ja
> noch zeigen.
> Dass aus |T(z)| = |z| [mm]|\lambda+\mu|[/mm] = 1 folgt und wenn
> beide Bedingungen gelten, dass dann |T(z)| = |z| folgt,
> habe ich ja bereits gezeigt.
Nun, nach dem Herumrechnen mit den Beträgen, sortieren usw. hast du doch die beiden Bedingungen:
(1) [mm] $(\lambda+\mu)^2=1$
[/mm]
(2) [mm] $(\lambda-\mu)^2=1$
[/mm]
Aus (1) eregibt sich [mm] $|\lambda+\mu|=1$
[/mm]
(1) und (2) ausmultipliziert, ergibt:
(1)' [mm] $\lambda^2+\mu^2+2\lambda\mu=1$
[/mm]
(2)' [mm] $\lambda^2+\mu^2-2\lambda\mu=1$
[/mm]
Nun addiere mal das (-1)-fache von (1)' auf (2)' ...
>
> fg
> Chrissi
Gruß
schachuzipus
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