Abbildungen g und f < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Seien f:V [mm] \to [/mm] W und g:U [mm] \to [/mm] V Abbildungen,f°g sei ihre Zusammensetzung.
Beweisen Sie:
a) Wenn f und g injektiv sind, dann auch f ◦ g .
b) Wenn f und g surjektiv sind, dann auch f ◦ g .
c) Wenn f ◦ g injektiv ist, dann auch g .
d) Wenn f ◦ g surjektiv ist, dann auch f . |
zu a)
f ist heißt injektiv, wenn zu jedem [mm] v\inV [/mm] genau ein [mm] w\inW [/mm] existiert,mit f(v)=w
g ist heißt injektiv, wenn zu jedem [mm] u\inU [/mm] genau ein [mm] w\inW [/mm] existiert,mit f(u)=v
wenn ich den Beutelsbacher richtig verstehe, ist dann f°g die Abbildung von V nach V, was so definiert ist: f°g(x):=f(g(x))
Die Begründung liegt hierbei darin, dass man die Abbildung f°g durch die Hintereinanderausführung von f und g erhält.
Hier weiß ich nicht wie der Beweis aussehen soll,und auch nicht ob meine obigen Folgerungen stimmen.
b.)dass heißt , dass zu jedem Element von W ein Element von V gibt(für Abbildung f), und dass es zu jedem Element von V ein Element von U gibt(für Abbildung g)
also f(w)=v
und
g(v)=u
ich weiß hiert auch nicht so wie der Beweis zu führen wäre,genau wie bei c und d
hat jemand vielleicht ein paar Hinweise?
viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Mi 05.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Feiratos,
>
> hat jemand vielleicht ein paar Hinweise?
>
Nicht gleich ein paar, aber einen: Eiine Abbildung [mm] $h:X\to [/mm] Y$ ist genau dann
injektiv, wenn fuer alle [mm] $u,v\in [/mm] X$ gilt: [mm] $h(u)=h(v)\Rightarrow [/mm] u=v$.
a) folgt damit m.E. sofort.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Feiratos |
heisst dass für a:
die Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W ist injektiv, also f(v)=f(w) [mm] \Rightarrow [/mm] v=w
und g: u [mm] \to [/mm] V ist injektiv, also [mm] g(u)=g(v)\Rightarrow [/mm] u=v?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:36 Do 06.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> heisst dass für a:
Ja, aber ich wuerde noch deutlicher machen:
>
> die Abbildung f: V [mm]\to[/mm] W ist injektiv, also f(v)=f(w)
> [mm]\Rightarrow[/mm] v=w
f ist injektiv: Fuer alle [mm] $v_1,v_2\in [/mm] V$ gilt [mm] $f(v_1)=f(v_2)\Rightarrow v_1=v_2$
[/mm]
>
> und g: u [mm]\to[/mm] V ist injektiv, also [mm]g(u)=g(v)\Rightarrow[/mm]
> u=v?
>
g ist injektiv: Fuer alle [mm] $u_1,u_2\in [/mm] U$ gilt [mm] $g(u_1)=g(u_2)\Rightarrow u_1=u_2$
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Do 06.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Feiratos,
Eine Abbildung $ [mm] h:X\to [/mm] Y $ ist genau dann
surjektiv, wenn es fuer alle [mm] $y\in [/mm] Y $ ein [mm] $x\in [/mm] X $ gibt $h(x)=y$.
Ich fange mal mit b) an. Sei [mm] $w\in [/mm] W$. Gesucht ist ein [mm] $u\in [/mm] U$ mit
$f(g(u))=w$. Da f surjektiv ist, gibt es ein ...
Nun du ...
vg Luis
|
|
|
|
