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| Aufgabe | Sei f: X [mm] \to [/mm] Y eine Funktion. Für eine Teilmenge A [mm] \subset [/mm] X ist
f(A) := {f(x) : x [mm] \in [/mm] A} [mm] \subset [/mm] Y
Seien nun A, B [mm] \subset [/mm] X. Welche der folgenden Eigenschaften gilt allgemein?
c) f(A) \ f(B) [mm] \subset [/mm] f( A \ B )
d) f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) |
Also meine Lösungsansätze wären:
c) Zu zeigen: f(A) \ f(B) [mm] \subset f(A\B)
[/mm]
Als Beispiel seien: A= {0}, B= {1}, f'(x)=1 und x= {0,1}
[mm] f(A\B) [/mm] = f({0}) = {1}
f(A) \ f(B) = {1} \ {1} = [mm] \emptyset \not= \subseteq [/mm] {1}
[mm] \Rightarrow [/mm] c) falsche Aussage
d) Zu zeigen: f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
Beweis: y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] f(B)
[mm] \gdw \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : f(x) = y [mm] \wedge \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] B : f(x) = y
[mm] \gdw \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B : f(x) = y
[mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)
[mm] \Rightarrow [/mm] d) wahre Aussage
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Mo 29.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: X [mm]\to[/mm] Y eine Funktion. Für eine Teilmenge A [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> X ist
> f(A) := {f(x) : x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A} [mm]\subset[/mm] Y
>
> Seien nun A, B [mm]\subset[/mm] X. Welche der folgenden
> Eigenschaften gilt allgemein?
>
> c) f(A) \ f(B) [mm]\subset[/mm] f( A \ B )
> d) f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
> Also meine Lösungsansätze wären:
>
> c) Zu zeigen: f(A) \ f(B) [mm]\subset f(A\B)[/mm]
> Als Beispiel
> seien: A= {0}, B= {1}, f'(x)=1 und x= {0,1}
Meinst Du X= {0,1} ? Meinst Du f(1)=f(0)=1 ?
>
> [mm]f(A\B)[/mm] = f({0}) = {1}
> f(A) \ f(B) = {1} \ {1} = [mm]\emptyset \not= \subseteq[/mm] {1}
Nein. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge !
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] c) falsche Aussage
Aussage c) ist richtig !
>
> d) Zu zeigen: f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
> Beweis: y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\wedge[/mm] y [mm]\in[/mm]
> f(B)
> [mm]\gdw \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A : f(x) = y [mm]\wedge \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] B :
> f(x) = y
Nein. Es gibt ein z [mm] \in [/mm] B mit f(z)=y.
> [mm]\gdw \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B : f(x) = y
> [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] d) wahre Aussage
Nein. d) ist falsch.
FRED
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| Aufgabe | Also ja, ich mein X= {0,1} und f(x)=1 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
Danke für die Korrektur, ich hab das glaub verstanden. =)
Aber das bei der d) versteh ich nicht. Könntest du mir bitte etwas genauer erklären, was für einen Fehler ich gemacht habe?! |
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also ja, ich mein X= {0,1} und f(x)=1 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X
> Danke für die Korrektur, ich hab das glaub verstanden.
> =)
>
> Aber das bei der d) versteh ich nicht. Könntest du mir
> bitte etwas genauer erklären, was für einen Fehler ich
> gemacht habe?!
ganz einfach: Du hast aus
$$y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \text{ und }y \in [/mm] f(B)$$
gefolgert, dass zum einen
ein $x [mm] \in [/mm] A$ mit [mm] $f(x)=y\,$ [/mm] existiert (das ist soweit korrekt)
und dann aber nicht beachtet, dass aus
$y [mm] \in [/mm] f(B)$
zwar folgt, dass es ein [mm] $\red{\text{x}} \in [/mm] B$ mit [mm] $f(\red{\text{x}})=y$
[/mm]
gibt, aber nicht beachtet, dass i.a. [mm] $\red{\text{x}} \not=x$ [/mm] gelten wird.
(Wäre [mm] $f\,$ [/mm] injektiv, so könnte man [mm] $\red{\text{x}}=x$ [/mm] folgern - aber das
wird ja in der Aufgabe nirgends gesagt!)
Kurz gesagt: Das $x [mm] \in [/mm] A$ mit [mm] $f(x)=y\,$ [/mm] muss nicht [mm] $x=\red{\text{x}}$
[/mm]
erfüllen, wenn [mm] $\red{\text{x}} \in [/mm] B$ mit [mm] $f(\red{\text{x}})=y$ [/mm] ist.
Und um nun nicht sowas komisches wie [mm] $x\not=\red{\text{x}}$ [/mm] schreiben
zu müssen, wo der Unterschied nur durch die Schriftart und die Farbe
hervorgehoben wird, kann man anstatt [mm] $\red{\text{x}}$ [/mm] auch [mm] $\tilde{x}$
[/mm]
schreiben - oder, wie Fred vorgeschlagen hat: [mm] $z\,$ [/mm] anstatt [mm] $\red{\text{x}}\,.$
[/mm]
Und um Dir den Sachverhalt nochmal klarer zu machen:
Betrachte (etwa) [mm] $f(x):=2*|x|\,.$ [/mm] Setze [mm] $A:=]-\infty,0[$ [/mm] und [mm] $B:=]0,\infty[\,.$
[/mm]
Jetzt gehe wirklich mal anhand dieses Beispiels Deine Aufgabe durch:
Betrachte etwa $y:=2 [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap f(B)\,.$
[/mm]
Denn wenn Dir das oben "logisch" noch immer nicht klar sein sollte, dann
solltest Du durch dieses Beispiel deutlich erkennen, an welcher Stelle Du
"falsch" folgerst: Denn offenbar ist hier $A [mm] \cap B=\emptyset\,,$ [/mm] aber [mm] $f(-1)=2=f(1)\,.$
[/mm]
P.S.
Ich bin sowieso der Meinung - und das zeigt Deine Lösung auch deutlich,
dass das sinnvoll ist - dass Du bei den [mm] $\gdw$ [/mm] lieber beide Richtungen
getrennt untersuchen solltest. Denn während
$$x [mm] \in [/mm] A [mm] \text{ und } [/mm] x [mm] \in [/mm] B$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \text{ und }f(x) \in [/mm] f(B)$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$$
so gefolgert werden darf, ist die Folgerung
$$y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap B\text{ mit }f(x)=y$$
[/mm]
falsch.
Richtig wäre etwa
$$y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \text{ und }y \in [/mm] f(B)$$
[mm] $$\Rightarrow \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A: f(a)=y [mm] \text{ und }\exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B: [mm] f(b)=y\,.$$
[/mm]
(Und wäre nun [mm] $f\,$ [/mm] etwa injektiv - dann würde man [mm] $a=b\,$ [/mm] folgern
dürfen, woraus wegen $A [mm] \ni [/mm] a=b [mm] \in [/mm] B$ dann $a [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ gelten würde.
Aber wie gesagt: Oben steht nix davon, dass [mm] $f\,$ [/mm] injektiv sei!)
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Also bin ich jetz soweit, dass ich weiß, dass a) f(A) \ f(B) [mm] \subset [/mm] f(A \ B) wahr ist. Aber wie beweiß ich das allgemein? Nehm ich mir da ein x [mm] \in [/mm] A und ein x [mm] \in [/mm] B? (x1 [mm] \not= [/mm] x2) , denn daraus folgt ja, dass x [mm] \in [/mm] f(A) und x [mm] \in [/mm] f(B) und nun?
b) f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) ist also falsch. Kann ich mir einfach Mengen wählen oder wie beweise ich das jetzt? |
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also bin ich jetz soweit, dass ich weiß, dass a) f(A) \
> f(B) [mm]\subset[/mm] f(A \ B) wahr ist. Aber wie beweiß ich das
> allgemein? Nehm ich mir da ein x [mm]\in[/mm] A und ein x [mm]\in[/mm] B? (x1
> [mm]\not=[/mm] x2) , denn daraus folgt ja, dass x [mm]\in[/mm] f(A) und x [mm]\in[/mm]
> f(B) und nun?
Nein. Das ist doch Unsinn ! Ist Dir überhaupt klar, was f(A) ist ??
Nimm ein y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \setminus [/mm] f(B). Dann ex. ein x [mm] \in [/mm] A mit y=f(x) und es ist y [mm] \notin [/mm] f(B). Warum ist nun x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B ?
Wenn das klar ist, folgt: y [mm] \in [/mm] f( A [mm] \setminus [/mm] B)
>
> b) f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) ist also falsch. Kann ich
> mir einfach Mengen wählen oder wie beweise ich das jetzt?
Suche ein ganz konkretes Beispiel, für das f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm] \ne [/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) ist.
FRED
> Danke
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Naja y [mm] \not\in [/mm] f(B), weil x [mm] \not\in [/mm] B ist. Oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Naja y [mm]\not\in[/mm] f(B), weil x [mm]\not\in[/mm] B ist. Oder?
Ja
FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Suche ein ganz konkretes Beispiel, für das f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\ne[/mm]
> f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) ist.
er brauch' auch gar nicht soooo lange zu suchen, er sollte halt mal
meine Antwort nochmal durchlesen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Suche ein ganz konkretes Beispiel, für das f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\ne[/mm]
> > f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) ist.
>
> er brauch' auch gar nicht soooo lange zu suchen, er sollte
> halt mal
> meine Antwort nochmal durchlesen...
Ohh,.. das hab ich nicht gesehen
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo Fred,
> >
> > > Suche ein ganz konkretes Beispiel, für das f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\ne[/mm]
> > > f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) ist.
> >
> > er brauch' auch gar nicht soooo lange zu suchen, er sollte
> > halt mal
> > meine Antwort nochmal durchlesen...
>
> Ohh,.. das hab ich nicht gesehen
es ist ja auch nicht Deine Aufgabe - es war eigentlich mehr ein ganz
kleiner Hinweis, dass man Thomas000 auch drauf hinweisen könnte,
dass er mal die Antworten genauer lesen und überdenken sollte. 
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Wenn ich das jetzt in eine halbwegs ordentliche Schreibweise bringen will:
Zu zeigen: f(A) \ f(B) [mm] \subset [/mm] f(A \ B)
Sei y $ [mm] \in [/mm] $ f(A) $ [mm] \setminus [/mm] $ f(B). Dann [mm] \exists [/mm] x $ [mm] \in [/mm] $ A mit y=f(x), wobei y $ [mm] \notin [/mm] $ f(B).
Da x [mm] \in [/mm] A und [mm] \not\in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A \ B und y [mm] \in [/mm] f(A), aber y [mm] \not\in [/mm] f(B) [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A \ B) |
Is das inhaltlich und formal ok?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich das jetzt in eine halbwegs ordentliche
> Schreibweise bringen will:
> Zu zeigen: f(A) \ f(B) [mm]\subset[/mm] f(A \ B)
> Sei y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\setminus[/mm] f(B). Dann [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A mit
> y=f(x), wobei y [mm]\notin[/mm] f(B).
> Da x [mm]\in[/mm] A und [mm]\not\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A \ B und y [mm]\in[/mm]
> f(A), aber y [mm]\not\in[/mm] f(B) [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A \ B)
> Is das inhaltlich und formal ok?
Ist O.K.
FRED
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| Aufgabe | | f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) |
Und hab ich das für das Beispiel von Marcel richtig "verstanden", dass wenn:
A= ]- [mm] \infty [/mm] , 0[ , B= ]0, [mm] \infty [/mm] [, f(x):= 2 * |x| folgendes passiert:
f(A [mm] \cap [/mm] B) wäre dann { [mm] \emptyset [/mm] } und
f(-1) = 2
f(1) = 2 , dann ist f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) = {2}
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
> Und hab ich das für das Beispiel von Marcel richtig
> "verstanden", dass wenn:
> A= ]- [mm]\infty[/mm] , 0[ , B= ]0, [mm]\infty[/mm] [, f(x):= 2 * |x|
> folgendes passiert:
>
> f(A [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B) wäre dann { [mm]\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Nein, sondern f(A [mm]\cap[/mm] B)= [mm] \emptyset.
[/mm]
> und
>
> f(-1) = 2
> f(1) = 2 , dann ist f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) = {2}
Nein, sondern [mm] \{2\} \subseteq [/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
FRED
>
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