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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 So 23.10.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Die Menge $A $besitze $n$, die Menge B $m$ Elemente $(m; n [mm] \in \IN)$.
[/mm]
Wann gibt es bijektive Abbildungen, und wieviele
sind es? (Bitte nicht mit vollstandiger Induktion!).>Kombinatorik |
$A = (1,2,3...n)$
$B= (1,2,3...m)$
Ich hab schon im vorigen Beispiel gezeigt dass es $ [mm] m^n [/mm] $ Abbildungen gibt und
$ m*(m-1)...(m-n+1) injektiv sind$.
Ich muss ja mal schauen wieviele surjektive Abbidlungen es gibt. dass heißt jedes element von B muss mindestens einmal (kann aber auch mehrmals) getroffen werden
n muss also größer gleich m sein
Bijektiv heißt, dass jedes Element von B wird einmal(nicht mehr oder weniger) getroffen.
bei bijektiv ist m=n
wieviele Abbildungen sind bijektiv?
1...-> n Möglichkeiten abzubilden
2...-> n-1 Möglichkeiten abzubilden
n...-> (n-n+1) Möglichkeiten abzubilden
$ n * (n-1) * ...*(1) = n!$
1.Frage stimm das?
2.Frage, Ist hier nicht gefragt (oder täusche ich mich) aber wie komme ich nur auf die surjektiven Abbildungen'?
Ich habe die Frage in keinen anderen Forum gepostet.
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moin quasimo,
> Die Menge [mm]A [/mm]besitze [mm]n[/mm], die Menge B [mm]m[/mm] Elemente [mm](m; n \in \IN)[/mm].
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> Wann gibt es bijektive Abbildungen, und wieviele
> sind es? (Bitte nicht mit vollstandiger
> Induktion!).>Kombinatorik
> [mm]A = (1,2,3...n)[/mm]
> [mm]B= (1,2,3...m)[/mm]
> Ich hab schon im vorigen
> Beispiel gezeigt dass es [mm]m^n[/mm] Abbildungen gibt und
> [mm]m*(m-1)...(m-n+1) injektiv sind[/mm].
>
> Ich muss ja mal schauen wieviele surjektive Abbidlungen es
> gibt. dass heißt jedes element von B muss mindestens
> einmal (kann aber auch mehrmals) getroffen werden
> n muss also größer gleich m sein
> Bijektiv heißt, dass jedes Element von B wird
> einmal(nicht mehr oder weniger) getroffen.
> bei bijektiv ist m=n
jupp
> wieviele Abbildungen sind bijektiv?
> 1...-> n Möglichkeiten abzubilden
> 2...-> n-1 Möglichkeiten abzubilden
> n...-> (n-n+1) Möglichkeiten abzubilden
>
> [mm]n * (n-1) * ...*(1) = n![/mm]
>
> 1.Frage stimm das?
ja
> 2.Frage, Ist hier nicht gefragt (oder täusche ich mich)
> aber wie komme ich nur auf die surjektiven Abbildungen'?
Das ist hier sicher aus gutem Grund nicht gefragt, denn das ist etwas komplizierter.
Dafür nimmt man normalerweise die Stirlinzahlen, guckst du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Stirling-Zahl#Stirling-Zahlen_zweiter_Art
Wie du da sehen kannst ist die Formel nicht ganz so schön wie zB die für die Binomialkoeffizienten, weswegen wohl nicht erwartet wird, dass du da allein drauf kommst.^^
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 So 23.10.2011 | | Autor: | quasimo |
ah, okay. dann lass ich das mal für den Anfang!
tausend-Danke-fürs-anschauen
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