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| Aufgabe | i) Es sei A eine unendliche Menge und f:A [mm] \to \IN [/mm] eine injektive Abbildung. Zeigen Sie, dass eine bijektive Abbildung [mm] g:\IN \to [/mm] A existiert.
ii) Es seien A und B nichtleere Mengen und f:A [mm] \to [/mm] B. Zeigen Sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn es eine Abbildung g:B [mm] \to [/mm] A gibt mit (g [mm] \circ [/mm] f)(a) = a [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A. |
Bei dieser Aufgabe bin ich ziemlich ratlos, wie man sowas formal angeht.
Zu i)
Würde ich erst mal eine surjektive Abbildung [mm] s:\IN \to [/mm] A erstellen. Da die Abb. f ja injektiv ist, werden Elemente aus [mm] \IN [/mm] nur höchstens einmal getroffen. Wenn wir dann den Spieß umdrehen und nur die getroffenen n [mm] \in \IN [/mm] nehmen und diese dann von 0 an einer neuen natürliche Zahl aufsteigend zuordnen (z.B. wenn Elemente von A über die Abb. f auf 3, 5, 10, 17, ... [mm] \in \IN [/mm] abgebildet werden, bezeichnen wir "3, 5, 10, 17, ..." einfach neu als "0, 1, 2, 3, ..." in unserer Abb. s). Damit wird in unserem s auf jedenfall jedes Element aus A mind. einmal getroffen (=surjektiv), und da es sich um eine unendliche Menge handelt, bilden die "neu" zugeordneten "0, 1, 2, 3 ..." wieder [mm] \IN. [/mm] Und jedes dieser natürlichen Zahlen "0, 1, 2, 3 ..." trifft genau ein Element aus A (Umkehrabbildung).
[mm] \Rightarrow [/mm] s ist auch bijektiv und wir können s mit g gleichsetzen und hätten die Behauptung gezeigt.
Zu ii)
Versteh ich auch nicht richtig, wie man das formal zeigen soll.
Wenn (g [mm] \circ [/mm] f)(a) = a [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A existiert, ist doch g die Umkehrabbildung von f. Damit eine Umkehrabbildung existiert, muss f bzw. g bijektiv sein, womit sie auch gleichzeitig injektiv sind.
Ich hoffe jemand kann mir bei diesem Problem helfen!
Vielen Dank!
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i) Hier geht es ja nur ums formale:
Die Menge wo alles von A hingeht ist ihr Bild, geschrieben f(A) oder im(A) oder Bi(A).
Wie du richtig gesagt hast ist diese auch (abzählbar) unendlich man kann sie also auf N umnummerieren. Das umnumerieren ist eben eine bijektive Abbildung. Formal also: Es gibt bijetive Abbildung [mm] \phi: N\to [/mm] N usw.
ii) Nein. f ist durch die Existen von g nicht bijetiv erst wenn auch die andere Konkatination also f°g=id ist.
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Vielen Dank, Beltrami.
Also ich ich hab jetzt folgende Beweise erstellt. Ich hoffe sie sind schlüssig und verständlich, sodass auch mein Tutor sie nachvollziehen kann:
i)
Sei [mm] f:A\to\IN [/mm] injektiv und [mm] |A|=\infty.
[/mm]
Zu Zeigen: Es existiert eine bijektive Abb. [mm] g:\IN\to [/mm] A.
Wir erstellen eine bijektive Abbildung, die jedem Element des Bildes von f eine natürliche Zahl von 0 aufsteigend zuweist. Da f injektiv ist, können wir jedem f(a) mit a [mm] \in [/mm] A genau ein eindeutiges [mm] n_{i} [/mm] mit i=0,1,2,3,… [mm] \in \IN [/mm] zuweisen.
Sei [mm] \phi:\IN\to\IN [/mm] eine bijektive Abbildung.
Mit [mm] f(a_{i}) \mapsto n_{i} [/mm] mit i=0,1,2,3,… [mm] \in \IN
[/mm]
Nun sei g eine Abbildung mit:
[mm] g:\IN\to [/mm] A
Und [mm] \phi(f(a_{i})) \mapsto a_{i} [/mm] mit i=0,1,2,3,… [mm] \in \IN
[/mm]
Da wir jedem [mm] a_{i} [/mm] ein eindeutiges [mm] n_{i} [/mm] zugewiesen haben, gilt auch die Umkehrung. D.h. wir können alle Elemente von f "durchnummerieren". Die Abbildung g ist also eine Bijektion, was dann auch bedeutet, dass A abzählbar ist.
[mm] \Box
[/mm]
ii)
Seien [mm] A,B\not=\emptyset [/mm] und [mm] f:A\to [/mm] B.
- Teil 1:
Wir zeigen, aus f injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt eine Abbildung [mm] g:B\to [/mm] A mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A}.
[/mm]
Da [mm] A,B\not=\emptyset [/mm] gibt es ein x [mm] \in [/mm] A.
Wir setzen nun:
[mm] g(b):=\begin{cases} a, & \mbox{wenn es ein } a \in A \mbox{ gibt mit } f(a)=b \\ x, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Damit haben wir eine Abb. g konstruiert, die genau die Bedingung (g [mm] \circ f=id_{A}) [/mm] erfüllt.
- Teil 2:
Wir zeigen: Existiert eine Abb. [mm] g:B\to [/mm] A mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A} \Rightarrow [/mm] f ist injektiv.
Beweis: Sei f nun nicht injektiv. Also existieren zwei verschiedene Elemente [mm] a_{1}, a_{2} \in [/mm] A mit [mm] f(a_{1})=f(a_{2}).
[/mm]
Aus g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A} [/mm] folgt, dass [mm] g(f(a_{1}))=a_{1} [/mm] und [mm] g(f(a_{2}))=a_{2}.
[/mm]
Aus der Bedingung [mm] f(a_{1})=f(a_{2}) [/mm] folgt dann, dass [mm] a_{1}=a_{2}.
[/mm]
Wiederspruch zur Annahme!
Wir haben insgesamt gezeigt: [mm] f:A\to [/mm] B ist injektiv [mm] \gdw [/mm] es existiert eine Abbildung [mm] g:B\to [/mm] A mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A}.
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
-
Ist das Ganze so OK?
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Ist ok . Bei ii) würde ich aber bei der ersten Richtung noch erwähnen wo genau die injektivität in den Beweis eingeht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 So 31.10.2010 | | Autor: | Raute1337 |
> Bei ii) würde ich aber bei der ersten Richtung
> noch erwähnen wo genau die injektivität in den Beweis
> eingeht.
Oh, stimmt! Danke!
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