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Hallo,
Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiß wie ich es mathematisch hinschreiben soll.
Seien A und B nicht -leere endliche Mengen. Zeige:
a) Es gibt genau dann eine injektive Abbildung f: A--> B wenn # [mm] A\le [/mm] #B
b) Es gibt genau dann eine surjektive Abbildung f: A--> B wenn # [mm] A\ge [/mm] #B
c) Es gibt genau dann eine bijektive Abbildung f: A--> B wenn #A=#B
Meine Lösungsansatz:
für a)
gezeigt durch Widerspruch:
Wenn #A>#B (Menge A hat mehr Elemente als B)
Dann tritt mindestens ein Element aus dem Bildbereich mehrmals auf.
Da f injektiv ist, heißt das, dass es zu jedem Element in A genau ein Bildelement in B gibt. Daraus folgt: f hat genau m verschiedene Elemente in B
--> Widerspruch
Wenn alle Elemente aus dem Bildbereich verschieden wären,dann wäre #A<=#B gewesen.
Danke im Voraus =)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiß wie ich
> es mathematisch hinschreiben soll.
>
> Seien A und B nicht -leere endliche Mengen. Zeige:
> a) Es gibt genau dann eine injektive Abbildung f: A--> B
> wenn # [mm]A\le[/mm] #B
> b) Es gibt genau dann eine surjektive Abbildung f: A--> B
> wenn # [mm]A\ge[/mm] #B
> c) Es gibt genau dann eine bijektive Abbildung f: A--> B
> wenn #A=#B
>
> Meine Lösungsansatz:
> für a)
>
> gezeigt durch Widerspruch:
> Wenn #A>#B (Menge A hat mehr Elemente als B)
> Dann tritt mindestens ein Element aus dem Bildbereich
> mehrmals auf.
Was meinst Du damit ?
> Da f injektiv ist, heißt das, dass es zu jedem Element in
> A genau ein Bildelement in B gibt.
Du bist ertappt ! Du weißt nicht was "injektiv" bedeutet !
Also mach Dich schlau und geh dann nochmal an die Aufgabe ran
FRED
> Daraus folgt: f hat
> genau m verschiedene Elemente in B
> --> Widerspruch
> Wenn alle Elemente aus dem Bildbereich verschieden
> wären,dann wäre #A<=#B gewesen.
>
>
> Danke im Voraus =)
>
>
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hier nochmal anders formuliert:
Damit meine ich folgendes:
Angenommen die Menge A hat 3 Elemente und B 2 Elemente.
Nach der Definition der Injektivität gilt für alle a,a‘ [mm] \in [/mm] A: a [mm] \not= [/mm] a‘ --> f( a ) [mm] \not=f(a‘)
[/mm]
In dem obigen Fall führt dies ja zum Widerspruch: Denn einem Element aus B darf höchstens ein Element aus A zugeordnet werden. In der Menge A würde dann 1 Element übrig bleiben. Würde man diesem Element ein Element in B zuordnen, dann wäre die Injektivität verletzt worden: f ( a )=f(a‘) (2 Elemente in A bilden 1 Element in B ab) <- darf nicht sein (Widerspruch)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Do 03.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Also:ist das jetzt formal und inhaltlich richtig?
zeige: $ |A|>|B| [mm] \Rightarrow \text{f nicht inj.} [/mm] $
Sei |A|>|B|. Das bedeutet, dass die Menge A mehr Elemente besitzt als die Menge B. Da nun f injektiv ist, heißt das, dass jedem Element aus B höchstens ein Element aus A zugeordnet wird. Daraus folgt: f hat genau |A| verschiedene Elemente in B
--> Widerspruch, da B nur |B| Elemente hat. Also hat [mm] |A|\le|B| [/mm] gegolten.
die andere Richtung:
$ |A| [mm] \le [/mm] |B| [mm] \Rightarrow \text{f inj.} [/mm] $
Sei also $ |A| [mm] \le [/mm] |B| $. D.h. die Anzahl der Elemente in B ist mindestens so groß wie die in A. Also kann jedem Element in B höchstens 1 Element aus A zugeordnet werden->injektiv
(Ich weiß nicht, ob die 2.Richtung richtig ist )
Danke für die Antwort
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
Nur noch eine Formsache:
Am besten wäre es, wenn man das auch so formuliert:
$|A|>|B| [mm] \Rightarrow \text{es existiert keine injektive Funktion} [/mm] f:A [mm] \to [/mm] B$. Damit man auch diesen Existenzbegriff drinnen hat, der auch in der Aufgabe steht. Finde ich zumindest genauer.
Aber wie auch immer:
> Also:ist das jetzt formal und inhaltlich richtig?
>
> zeige: [mm]|A|>|B| \Rightarrow \text{f nicht inj.}[/mm]
> Sei
> |A|>|B|. Das bedeutet, dass die Menge A mehr Elemente
> besitzt als die Menge B. Da nun f injektiv ist, heißt das,
> dass jedem Element aus B höchstens ein Element aus A
> zugeordnet wird.
Hier wolltest du A und B vertauschen, oder?
> Daraus folgt: f hat genau |A| verschiedene
> Elemente in B
> --> Widerspruch, da B nur |B| Elemente hat. Also hat
> [mm]|A|\le|B|[/mm] gegolten.
Würde ich so Unterschreiben. Nur, dass du es besser schreibst, dass B dann mindestens |A| Elemente haben müsste. Aber vielleicht sollte nochmal ein Mitglied mit mehr Erfahrung drübergucken.
>
> die andere Richtung:
> [mm]|A| \le |B| \Rightarrow \text{f inj.}[/mm]
> Sei also [mm]|A| \le |B| [/mm].
> D.h. die Anzahl der Elemente in B ist mindestens so groß
> wie die in A. Also kann jedem Element in B höchstens 1
> Element aus A zugeordnet werden->injektiv
>
> (Ich weiß nicht, ob die 2.Richtung richtig ist )
>
> Danke für die Antwort
>
>
Ja, die Richtung ist noch etwas schwammig. Ich würde hier eher versuchen, f zu konstruieren, also eine Art Bildungsanschrift angeben, wie f denn funktionieren soll.
Denn du musst ja auch nur zeigen, dass es solch eine Funktion f gibt.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Do 03.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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