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Guten Abend
Ich habe da mal eine Frage zu einer Aufgabe:
Sei f:X --> Y eine Abbildung und A [mm] \subset [/mm] X sowie B [mm] \subset [/mm] Y.
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Beweise oder widerlege!
a) A [mm] \subset f^{-1}(f(A))
[/mm]
b) A = [mm] f^{-1}(f(A))
[/mm]
Also a) ist ja richtig, aber wie kann ich das sinnvoll beweisen?
Und b) ist nur richtig wenn die Menge A nur genau 1 Element aufweist, oder?
Liebe Grüsse
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Hallo,
mit linearen Abbildungen hat das aber erstmal nicht so viel zu tun - natürlich gilt es für lineare dann auch.
> Sei f:X --> Y eine Abbildung und A [mm]\subset[/mm] X sowie B
> [mm]\subset[/mm] Y.
> Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Beweise oder
> widerlege!
> a) A [mm]\subset f^{-1}(f(A))[/mm]
> b) A = [mm]f^{-1}(f(A))[/mm]
>
> Also a) ist ja richtig, aber wie kann ich das sinnvoll
> beweisen?
Du mußt zeigen, daß aus [mm] a\in [/mm] A folgt: [mm] a\in f^{-1}(f(A)).
[/mm]
Dazu benutze konsequent die Definitionen:
Sei [mm] a\in [/mm] A. Dann ist y:=f(a) [mm] \in [/mm] f(A).
Woran merkst Du nun, daß [mm] a\in f^{-1}(f(A)) [/mm] liegt? Was mußt Du dafür vorrechnen? (Schau Dir die Def. des Urbildes an.)
> Und b) ist nur richtig wenn die Menge A nur genau 1
> Element aufweist, oder?
Nein, es kommt auf etwas anderes an - was hier gar nicht gefragt ist.
Du hast ja schon gesagt, daß die Aussage nicht stimmt.
Gib ein konkretes Beispiel von einer Menge und einer Funktion an, welches die Aussage widerlegt.
Gruß v. Angela
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Hallo nochmal
Also ich würde das, nach deinem Tipp, nun so lösen:
a) Behauptung: A [mm] \subset f^{-1}(f(A))
[/mm]
Beweis: Sei x [mm] \in [/mm] A dann ist y:=f(x) [mm] \in [/mm] f(A)
A [mm] \subset f^{-1}(f(x)) [/mm] --> [mm] f^{-1}(y) [/mm] --> f(x) [mm] \Box [/mm]
b) Behauptung: A = [mm] f^{-1}(f(A))
[/mm]
Beweis: Sei x [mm] \in [/mm] A dann ist y:=f(x) [mm] \in [/mm] f(A)
Sei [mm] f(x)=x^{2}, [/mm] A={1,2,3}, B{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Annahme: x=2
A = [mm] f^{-1}(f(2)) [/mm] --> [mm] f^{-1}(4) [/mm] --> f(2) = 4 [mm] \Box [/mm]
Stimmt das so??
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Sa 03.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> Hallo nochmal
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> Also ich würde das, nach deinem Tipp, nun so lösen:
>
> a) Behauptung: A [mm]\subset f^{-1}(f(A))[/mm]
> Beweis: Sei x [mm]\in[/mm] A
> dann ist y:=f(x) [mm]\in[/mm] f(A)
Richtig.
> A [mm]\subset f^{-1}(f(x))[/mm] --> [mm]f^{-1}(y)[/mm] --> f(x) [mm]\Box[/mm]
Nee, die Zeile ist kompletter Unsinn. Zumindest so wie es jetzt dasteht. Also
[mm] $x\in A\Rightarrow f(x)\in [/mm] f(A)$ ist richtig, soweit warst du, und das ist äquivalent zu [mm] $x\in f^{-1}(f(A))$, [/mm] also bist du fertig. (Zur Erinnerung: nach Definition ist [mm] $x\in f^{-1}(M)\gdw f(x)\in [/mm] M$ ist, genau das hast du aber gezeigt)
> b) Behauptung: A = [mm]f^{-1}(f(A))[/mm]
> Beweis: Sei x [mm]\in[/mm] A dann ist y:=f(x) [mm]\in[/mm] f(A)
> Sei [mm]f(x)=x^{2},[/mm] A={1,2,3}, B{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
> Annahme: x=2
> A = [mm]f^{-1}(f(2))[/mm] --> [mm]f^{-1}(4)[/mm] --> f(2) = 4 [mm]\Box[/mm]
Damit hast du lediglich gezeigt (und das auch nur mit viel gutem Willen), dass die Aussage manchmal gilt. Du sollst aber prüfen, ob sie immer gilt und gegebenfalls beweisen oder durch ein Gegenbeispiel widerlegen. Ich versuche dich mal auf die richtige Fährte zu locken: schau dir nochmal den Beweis von oben an, wir hatten die Schlusskette [mm] $$x\in A\Rightarrow f(x)\in f(A)\gdw x\in f^{-1}(f(A))$$
[/mm]
Wenn du das eine [mm] "\Rightarrow" [/mm] durch [mm] "\gdw" [/mm] ersetzen könntest, dann hättest du die Behauptung b) gezeigt! Ich behaupte mal, das dies im Allgemeinen nicht möglich ist, d.h. dass i.A. nicht [mm] $f(x)\in f(A)\Rightarrow x\in [/mm] A$ gilt. Kannst du dafür ein Gegenbeispiel finden?
Gruß, Robert
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