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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:38 Di 07.07.2009 | | Autor: | disconnectus |
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \mapsto \pmat{ b \\ c }
[/mm]
Ist das möglich Wie kann man es erklären
b und c sind ungleich null.
Vieleicht ist es nicht mit den Standartbasen konstruiert. Welche sind die Basen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 Mi 08.07.2009 | | Autor: | snp_Drake |
Ok, vielleicht stellst du deine Frage etwas genauer.
Die Abbildung ist eine Abbildung aus dem [mm] \IR^{2,2} [/mm] in den [mm] \IR^{2}
[/mm]
also
[mm] f(x)=\IR^{2,2} \to \IR^{2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } \to \vektor{2 \\ 3}
[/mm]
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> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \mapsto \pmat{ b \\ c }[/mm]
>
> Ist das möglich Wie kann man es erklären
>
> b und c sind ungleich null.
>
> Vieleicht ist es nicht mit den Standartbasen konstruiert.
> Welche sind die Basen
Naja, rechnerisch klappt das nur, wenn deine Abbildungsvorschrift von rechts einen Vektor an diese Matrix multipliziert, ansonsten kann da kein Vektor rauskommen.
Also kannst du ganz einfach ansetzen:
[mm]\pmat{ a & b \\ c & d }*\pmat{ x \\ y } = \pmat{ b \\ c }[/mm]
Damit hast du ein simples Gleichungssystem, kannst x und y ausrechnen. Leider ist das keine Abbildungsvorschrift, weil da natürlich die a, b, c und d drinstecken, kann also nicht die Lösung sein.
Ergo: Präzisiere doch deine Aufgabenstellung bitte, damit klar ist, was dort zu tun ist. Ich finde kein Objekt A mit [mm]A*\pmat{ a & b \\ c & d } = \pmat{ b \\ c }[/mm] oder eben von rechts, wobei A eine allgemeine Vorschrift beinhaltet. Und wenn nicht sowas gesucht ist, dann ist es keine Aufgabe, denn was die Abbildung macht, steht ja schon da...
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> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \mapsto \pmat{ b \\ c }[/mm]
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> Ist das möglich Wie kann man es erklären
>
> b und c sind ungleich null.
>
> Vieleicht ist es nicht mit den Standartbasen konstruiert.
> Welche sind die Basen
Hallo,
das ist so die Sorte Posts, bei denen man erstmal die Hände über dem Kopf zusammenschlägt, und zwar nicht deshalb, weil jemand etwas nicht weiß oder auf dem falschen Dampfer ist, sondern weil jemand, der studiert - und später entsprechende Positionen bekleiden möchte -, offensichtlich nicht in der Lage ist, die Aufgabenstellung und das Problem mit derselbigen zu schildern.
Aber wahrscheinlich liegt der Grund ganz woanders: die Kombinationsgabe und Fantasie der Antwortenden soll geprüft werden...
Ich nehme die Herausforderung an, zumal mein Rabe gerade heimgekehrt ist, auf dem Feuer ein Topf mit einer giftgrünen Flüssigkeit brodelt, und auch vom Frühstück der benötigte Kaffesatz zur Verfügung steht.
Du hast also eine (lineare) Abbildung
[mm] \Phi: \IR^{2x2} \to \IR^2 [/mm] mit
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \mapsto \pmat{ b \\ c }[/mm],
und Du sollst nun die Abbildungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl der Standardbasen aufstellen. (Und? Lieg ich richtig?)
Dazu machen wir uns erstmal Gedanken über das Format der Darstellungmatrix: [mm] dim\IR^{2x2}=4, dim\IR^2=2, [/mm] also wird die Abbildungsmatrix eine 2x4-Matrix sein.
In ihren Spalten stehen bekanntermaßen (hoffentlich...) die Bilder der Basisvektoren.
Damit sind wir beim nächsten Thema: welches ist die Standardbasis des [mm] \IR^{2x2}?
[/mm]
Wenn Du die hast, "berechnest" Du zu jedem Basiselement das Bild unter der Abbildung [mm] \Phi. [/mm] dies liefert Dir die Spalten der (möglicherweise...) gesuchten Matrix.
Ich möchte unbedingt von Dir wissen, ob ich das Problem richtig erraten habe, und ob Du die Aufgabe nun lösen kannst.
Gruß v. Angela
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Ich dachte ihr Mathematiker könnt alles selber herausfinden :)
Hier ist die Aufgabe:
Es sein V der [mm] \IR-Vektorraum \IR^{2x2} [/mm] der reellen 2x2 -Matrizen und F die Lineare Abbildung
F : [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\mapsto \pmat{b \\ c }
[/mm]
Weider seien D:= Kern(F) und W ein dreidimensionaler Untervektorraum von V
Es gibt 4 verschiedene Fragean.
a)
b)
c)
d)
Die Fragen interresiert mich nicht. Ich will nur wissen, wie kann so eine Abbildung existieren??
Danke im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Wo ist das Problem ?
Die Abbildung F ordnet einer 2x2-Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] den Vektor [mm] \pmat{b \\ c } [/mm] zu. Das ist alles.
FRED
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Wie ist de Abbildungsmatrix?
Ich kann mir kein Abbildungsmatrix vorstellen???
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> Wie ist de Abbildungsmatrix?
>
> Ich kann mir kein Abbildungsmatrix vorstellen???
Hallo,
die mußt Du Dir nicht vorstellen, die kannst du berechnen, und wie das geht, habe ich Dir doch zuvor geschreiben.
Gruß v. Angela
>
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Du hast die Frage richtig erraten. Deine Erklärung verstehe ich aber nicht.
Standartbasen sind :
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Kannst du bitte die Abb. matrix schreiben?
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> Du hast die Frage richtig erraten. Deine Erklärung
> verstehe ich aber nicht.
>
> Standartbasen sind :
Nein, das sind nicht die Standardbasen, sondern das sind die Elemente der Standardbasis, also die Standardbasisvektoren.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Kannst du bitte die Abb. matrix schreiben?
Ja sicher, aber Du sollst doch die Aufgabe lösen...
In der Abbildungsmatrix stehen nebeneinander die Bilder der Standardbasisvektoren von [mm] \IR^{2x2}.
[/mm]
Worauf wird denn [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] abgebildet? Auf [mm] \vektor{...\\...}
[/mm]
Und [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }? [/mm] Auf [mm] \vektor{...\\...}.
[/mm]
usw.
Gruß v. Angela
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A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ }
[/mm]
ich brauch ein Abbildungmatrix ähnlich wie diese... Ich kann selber nicht finden...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mi 08.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Angela hat dir doch den Tipp gegeben.
Betrachte mal die Bilder der Basen, diese werden die Spälten der Abbildungsmatrix.
Also BSP.
[mm] f:\IR^{2}\to\IR^{3} [/mm] bilde [mm] e_{1}:=\vektor{1\\0} [/mm] auf [mm] e_{1}'=\green{\vektor{2\\0\\1}} [/mm] ab und [mm] e_{2}:=\vektor{0\\1} [/mm] auf [mm] e_{1}'=\blue{\vektor{4\\5\\6}}
[/mm]
Dann ist [mm] A=\pmat{\green{1}&\blue{4}\\\green{0}&\blue{5}\\\green{1}&\blue{6}}
[/mm]
Jetzt berechne du mal die Bilder deiner Basis, und bestimme damit dein A
Marius
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Dein beispiel ist einfach zu lösen
Aber ich kann mir gar keine Abbildungmatrix für diese Funktion vorstellen.
Gib bitte Basen und Abbildungsmatrix für diese Funktion.
Hier ist die Funktion:
Es sein V der [mm] \IR-Vektorraum \IR^{2x2} [/mm] der reellen 2x2 -Matrizen und F die Lineare Abbildung
F : [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\mapsto \pmat{b \\ c }
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mi 08.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Basiselemente hat Angela dir doch schon gegeben.
also:
[mm] f\left(\pmat{1&0\\0&0}\right)=\vektor{...\\...}
[/mm]
[mm] f\left(\pmat{0&1\\0&0}\right)=\vektor{...\\...}
[/mm]
[mm] f\left(\pmat{0&0\\1&0}\right)=\vektor{...\\...}
[/mm]
[mm] f\left(\pmat{0&0\\0&1}\right)=\vektor{...\\...}
[/mm]
Marius
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Das habe ich auch verstanden.
Die Basiselemente habe ich doch selber geschrieben? Die sind aber Standartbasen, mit denen kann ich keine Abbildungsmatrix erstellen.
ich dachte, dass es mit irgendwelche basen gehen würde.
Warum schreibst du es nicht vollständig , wenn du eine abbildungsmatrix erstellen kannst? (Bitte Bitte Bitte)
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
$ [mm] F\left(\pmat{1&0\\0&0}\right)=\vektor{0\\0} [/mm] $
$ [mm] F\left(\pmat{0&1\\0&0}\right)=\vektor{1\\0} [/mm] $
$ [mm] F\left(\pmat{0&0\\1&0}\right)=\vektor{0\\1} [/mm] $
$ [mm] F\left(\pmat{0&0\\0&1}\right)=\vektor{0\\0} [/mm] $
Mit der Basis [mm] \vektor{1\\0}, \vektor{0\\1} [/mm] des [mm] \IR^2 [/mm] ergibt sich die Abbildungsmatrix
[mm] \pmat{0&1&0&0\\0&0&1&0}
[/mm]
Zufrieden ?
FRED
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> Wir haben:
>
>
>
> [mm]F\left(\pmat{1&0\\0&0}\right)=\vektor{0\\0}[/mm]
> [mm]F\left(\pmat{0&1\\0&0}\right)=\vektor{1\\0}[/mm]
> [mm]F\left(\pmat{0&0\\1&0}\right)=\vektor{0\\1}[/mm]
> [mm]F\left(\pmat{0&0\\0&1}\right)=\vektor{0\\0}[/mm]
>
> Mit der Basis [mm]\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}[/mm] des [mm]\IR^2[/mm] ergibt
> sich die Abbildungsmatrix
>
>
> [mm]\pmat{0&1&0&0\\0&0&1&0}[/mm]
>
> Zufrieden ?
>
> FRED
Das klingt alles gut, könnte vielleicht noch jemand erklären, wie man aus dieser Abbildungsmatrix und einer Matrix A [mm] \in \IR^{2x2} [/mm] den entsprechenden Bildvektor berechnen kann?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Bezeichnen wir mit [mm] B_1, ...B_4 [/mm] die oben benutzte Basis des Matrizenraumes.
Mit $A = [mm] \pmat{ a & b\\ c & d }$ [/mm] ist dann
$A = [mm] aB_1+bB_2+cB_3+dB_4$
[/mm]
also
$F(A) = [mm] aF(B_1)+bF(B_2)+cF(B_3)+dF(B_4)= a\vektor{0 \\ 0}+b\vektor{1 \\ 0}+c\vektor{0 \\ 1}+d\vektor{0 \\ 0}= \vektor{b \\ c}$
[/mm]
Oder
$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } \pmat{ a \\b \\c \\ d } [/mm] $ = $ [mm] \pmat{b \\ c } [/mm] $
FRED
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> Bezeichnen wir mit [mm]B_1, ...B_4[/mm] die oben benutzte Basis des
> Matrizenraumes.
>
> Mit [mm]A = \pmat{ a & b\\ c & d }[/mm] ist dann
>
> [mm]A = aB_1+bB_2+cB_3+dB_4[/mm]
>
> also
>
> [mm]F(A) = aF(B_1)+bF(B_2)+cF(B_3)+dF(B_4)= a\vektor{0 \\ 0}+b\vektor{1 \\ 0}+c\vektor{0 \\ 1}+d\vektor{0 \\ 0}= \vektor{b \\ c}[/mm]
>
> FRED
Genau dieses [mm]F(A)[/mm] würde mich interessieren bzw. das [mm] F(B_i). [/mm] Denn eine Multiplikation der Matrizen kann nicht zu dem angegebenen Bild führen. Muss ich mich einfach damit zufrieden geben, dass die Abbildung einfach nur durch ihre Wirkung festgelegt wird, und zwar hier nur "sauber aufgebohrt" durch die Wirkung auf die Basis des VRs? Also im Grunde nur eine ausführliche Formulierung der ersten Aufgabenstellung dieses Threads, also $ [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \mapsto \pmat{ b \\ c } [/mm] $?
Oder anders gesagt: ich kann nicht durch eine einfache Matrixoperation mithilfe deiner Abbildungsmatrix und den Matrizen aus [mm] \IR^{2x2} [/mm] (egal, ob Basis oder nicht) das Bild ermitteln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Meine letze Antwort habe ich nachträglich nochmal ergänzt. Möglicherweise hast Du es noch nicht gesehen:
Da man [mm] \IR^{2x2} [/mm] mit [mm] \IR^4 [/mm] identifizieren kann:
$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } \pmat{ a \\b \\c \\ d } [/mm] $ = $ [mm] \pmat{b \\ c } [/mm] $
FRED
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Ja okay - das verstehe ich, allerdings finde ich dann die Begründungen für das Herausfinden dieser Abbildungsmatrix überflüssig. Denn wenn ich die 2x2 Matrix direkt als Vektor schreibe, kann ich bei dieser sehr einfachen Abbildung natürlich auch sofort die passende Matrix hinschreiben.
Danke schön für die geduldigen Parallelerklärungen  .
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Für Ax = b
man kann A (abbildungsmatrix) und x nicht miteinander multiplizieren.
A ist [mm] \IR^{2x4} [/mm] und X is [mm] \IR^{2x2} [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{b \\ c }
[/mm]
Wir können nicht machen oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für Ax = b
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> man kann A (abbildungsmatrix) und x nicht miteinander
> multiplizieren.
>
> A ist [mm]\IR^{2x4}[/mm] und X is [mm]\IR^{2x2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> = [mm]\pmat{b \\ c }[/mm]
>
> Wir können nicht machen oder???
Doch:
$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } \pmat{ a \\b \\c \\ d } [/mm] $ = $ [mm] \pmat{b \\ c } [/mm] $
FRED
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Es ist aber als [mm] \IR^{2 x 2} [/mm] gegeben.
Es ist nicht [mm] \IR^{4x1}
[/mm]
Dürfen wir es ändern.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Als Vektorräume kannst Du den [mm] \IR^{2x2} [/mm] mit dem [mm] \IR^4 [/mm] identifizieren
FRED
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Danke Fred97...
Du bist der Hama.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:09 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred97...
>
> Du bist der Hama.
Hama= Hammer ?
Falls nicht, was ist ein Hama ?
FRED
>
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> Falls nicht, was ist ein Hama ?
Moin,
![[]](/images/popup.gif) Wiki ist auch Deine Freundin.
Such Dir halt was Schönes aus.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:49 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Falls nicht, was ist ein Hama ?
>
> Moin,
>
> Wiki
> ist auch Deine Freundin.
Hallo Angela,
Schön, wenn man Freunde hat, herzlichen Dank für den Link.
>
> Such Dir halt was Schönes aus.
Ich kann mich nicht entscheiden ................
...................vielleicht doch die Bügelperlen, weil die so doll zu meinem Naturell passen ........ ?
Gruß FRED
>
> Gruß v. Angela
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Ich wusste nicht wie man es schreibt : )
Natürlich Hammer.
Ich dachte jede meint die Marke Hama weil es eine gute Marke ist...
Warum Hammer ????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Do 09.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es ist aber als [mm]\IR^{2 x 2}[/mm] gegeben.
>
> Es ist nicht [mm]\IR^{4x1}[/mm]
Fred hat es ja schon gesagt. Du hättest es Dir aber auch überlegen können:
Du selbst hast die Basisvektoren der Standarbasis des [mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] - als [mm] $\IR$-VR [/mm] (Addition und skalare Multiplikation soll hier komponentenweise stattfinden; kurzgesagt: wie üblich, wenn nix anderes dazugesagt wird) - angegeben (und nochmal zur Klärung: das sind nicht die Standardbasen; welchen Sinn sollte es überhaupt machen, von Standardbasen zu sprechen? Damit dieser Begriff sinnvoll wäre, könnte man vll. höchstens die Reihenfolge dieser Basisvektoren abändern und auch jede Basis mit abgeänderter Reihenfolge der Basisvektoren als Standardbasis bezeichen?!). Diese hat 4 Elemente, also ist [mm] $\dim(\IR^{2 \times 2})=4\,.$
[/mm]
Ferner ist offenbar [mm] $\dim(\IR^4)=4$ [/mm] (wenn man den [mm] $\IR^4$ [/mm] mit üblicher Addtition und skalarer Multiplikation versieht). Folglich kannst Du eine bijektive lineare Abbildung [mm] $\phi: \IR^{2 \times 2} \to \IR^4$ [/mm] angeben; also einen solchen Isomorphismus. Diese (und auch die inverse [mm] $\phi^{-1}$) [/mm] ist dann natürlich insbesondere eine strukturerhaltende Abbildung.
Nur, damit Du auch nochmal ein kleines, kurzes Argument siehst, warum man den [mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^4$ [/mm] bzw. [mm] $\IR^{4 \times 1}$ [/mm] identifzieren kann. (Anders ausgedrückt: [mm] $\IR^{2 \times 2}\cong \IR^4\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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