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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mo 27.04.2009 | | Autor: | eppi1981 |
| Aufgabe | Seien X und Y Mengen und f , g : X →Y zwei Abbildungen.
Beweisen Sie: Gilt [mm] f^{-1}(B) [/mm] ⊂ [mm] g^{-1}(B) [/mm] für jede Teilmenge B [mm] \subset [/mm] Y , dann ist f = g . |
Wie kann man einen Beweis anfangen?
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> Seien X und Y Mengen und f , g : X →Y zwei
> Abbildungen.
> Beweisen Sie: Gilt [mm]f^{-1}(B)[/mm] ⊂ [mm]g^{-1}(B)[/mm] für jede
> Teilmenge B [mm]\subset[/mm] Y , dann ist f = g .
> Wie kann man einen Beweis anfangen?
Hallo,
ich würde zeigen: [mm] f\not=g [/mm] ==> es gibt eine Teilemenge B von Y mit [mm] f^{-1}(B)\not\subseteq g^{-1}(B).
[/mm]
Seien f und g verschieden, dann gibt es ein [mm] x\in [/mm] X mit [mm] f(x)=y_1, g(x)=y_2 [/mm] mit [mm] y_1\not=y_2.
[/mm]
Betrachte [mm] B:=\{y_2\} [/mm] und ihre Urbilder. Kann x in [mm] f^{-1}(\{y_2\}) [/mm] sein?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Di 28.04.2009 | | Autor: | eppi1981 |
wie ich verstehe, x kann in [mm] f(y_{2}) [/mm] sein, wenn [mm] y_{2}=y_{1}, [/mm] aber das widerspricht die Behauptung [mm] (f(x)=y_1, g(x)=y_2 [/mm] mit [mm] y_1\not=y_2)
[/mm]
stimmt das?
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Hallo,
beachte bitte, daß ich inzwischen einen ganzen Schwung Tippfehler aus meinem vorhergehenden Post entfernt habe - insbesondere sind dadurch wichtige Mengenklammern sichtbar geworden.
[mm] f\not=g, [/mm] dh. es gibt ein x mit [mm] f(x)\not=g(x). [/mm] Sei [mm] f(x)=y_1, g(x)=y_2, \qqad y_1, y_2 [/mm] verschieden.
> wie ich verstehe, x kann in [mm]f(y_{2})[/mm] sein, wenn
> [mm]y_{2}=y_{1},[/mm]
Genau. Angenommen, es wäre [mm] x\in f^{-1}(\{y_2\}).
[/mm]
Dann wäre ja [mm] f(x)=y_2, [/mm] was n.V. nicht der Fall ist.
Also ist [mm] x\not\in f^{-1}(\{\y_2\}).
[/mm]
x ist aber wegen [mm] g(x)=y_2 [/mm] in [mm] g^{-1}(\{y_2\}).
[/mm]
Somit ist [mm] g^{-1}(\{\y_2\})\not\subseteq f^{-1}(\{y_2\}).
[/mm]
Damit hast Du die Existenz einer Menge B gezeigt, für welche [mm] g^{-1}(B)\not\subseteq f^{-1}(B) [/mm] ist.
Na sowas! Bei dieser Beweisführung sind f und g vertauscht...
(Wenn Du's exakt wie in der Aufgabenstellung haben willst, mußt Du also [mm] g^{-1}(y_1) [/mm] betrachten.)
>aber das widerspricht die Behauptung
> [mm](f(x)=y_1, g(x)=y_2[/mm] mit [mm]y_1\not=y_2)[/mm]
>
> stimmt das?
Ja, im Prinzip stimmt das. Du solltest es noch schön mit Mengen aufschreiben, damit es wirklich 1:1 zu der Fragestellung paßt.
Gruß v. Angela
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