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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:25 So 19.04.2015 | | Autor: | Neutron |
| Aufgabe | Sei K ein beliebiger Körper und A [mm] \in K^{n,n} [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2.
Wir betrachten die Abbildung [mm] f_{A}:K_{\le n}[/mm] [t] [mm] \to K^{n,n} [/mm] , p [mm] \mapsto f_{A}(p) [/mm] := p(A)
(a) Zeigen Sie, dass [mm] f_{A} [/mm] linear ist.
(b) Untersuchen Sie [mm] f_{A} [/mm] aus Injektivität.
(c) Untersuchen Sie [mm] f_{A} [/mm] auf Surjektivität
Erinnerung: Für p = [mm] \summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}t^{k} [/mm] gilt p(A) := [mm] \summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}A^{k} [/mm] |
Ich habe leider keine Ansätze und sonst keine Ideen, da ich die letzten Vorlesungen nicht anwesend sein konnte. Könntet ihr mir eventuell helfen bei den Aufgaben und vielleicht sogar die eine oder andere Aufgaben lösen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 So 19.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei K ein beliebiger Körper und A [mm]\in K^{n,n}[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 2.
> Wir betrachten die Abbildung [mm]f_{A}:K_{\le n}[/mm] [t][mm]\to K^{n,n}[/mm] , p [mm]\mapsto f_{A}(p)[/mm] := p(A)
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm]f_{A}[/mm] linear ist.
> (b) Untersuchen Sie [mm]f_{A}[/mm] aus Injektivität.
> (c) Untersuchen Sie [mm]f_{A}[/mm] auf Surjektivität
>
> Erinnerung: Für p = [mm]\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}t^{k}[/mm] gilt p(A) := [mm]\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}A^{k}[/mm]
> Ich habe leider keine Ansätze und sonst keine Ideen, da ich die letzten Vorlesungen nicht anwesend sein konnte. Könntet ihr mir eventuell helfen bei den Aufgaben und vielleicht sogar die eine oder andere Aufgaben lösen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mach' Dir erst mal die Notationen klar. Dir ist sicher klar, was ein Körper
ist (kennst Du *Standardbeispiele*?), wesentlich ist eigentlich nur, dass
dort gewisse Axiome (und auch *Rechenregeln*) erfüllt sind.
(Eine *typische* Rechenregel ist [mm] $0_K*x=x*0_K=0_K$.)
[/mm]
Was ist $ [mm] K_{\le n}[/mm] [t] $? Was ist [mm] $K^{n,n}$? [/mm] (Letzteres kann man wunderbar auch
in Worten beschreiben: Das sind qu.... Matrizen, genauer gesagt:
Sie haben ... Spalten und ... Zeilen, mit Einträgen aus ...).
Zur Linearität gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Alternative: Du rechnest direkt nach, dass
[mm] $f_A(\lambda_1p_1+\lambda_2p_2)=\lambda_1 f_A(p_1)+\lambda_2 f_A(p_2)$
[/mm]
ist (was sind hier [mm] $\lambda_1, \lambda_2$, $p_1,\,p_2$ [/mm] jeweils für Elemente; also *woher
stammen sie*?).
2. Du rechnest etwa zuerst nach, dass [mm] $f_A(p_1+p_2)=f_A(p_1)+f_A(p_2)$ [/mm] gilt, und
danach noch, dass [mm] $f_A(\lambda p_1)=\lambda f_A(p_1)\,.$
[/mm]
Tipp: Schreibe [mm] $p_\red{\ell}:=\sum_{k=0}^n \alpha^{(\red{\ell})}_{k}t^k$ [/mm] für [mm] $\ell=1,\,2\,.$ [/mm] Springen
wir in die 2. Alternative, so gilt dann etwa
[mm] $p_1+p_2 \mapsto f_A(p_1+p_2)=(p_1+p_2)(A)=\sum_{k=0}^n \widetilde{\alpha_k}A^k=...$
[/mm]
Jetzt mußt Du natürlich irgendwomit auch [mm] $\widetilde{\alpha_k}=\alpha^{(1)}_{k}+\alpha^{(2)}_{k}$ [/mm] begründen,
schau' dazu nach, wie [mm] $p_1+p_2$ [/mm] per Definitionem aussieht!
(Beachte: Mit [mm] $p:=p_1+p_2$ [/mm] ist oben [mm] $p=\sum_{k=0}^n \widetilde{\alpha_k}t^k$!)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 23.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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