Abbildung, surjektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum gestellt.
Hi!
Ich habe hier folgende Aufgabe
Es seien X, Y Mengen und f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung
Für V [mm] \subseteq [/mm] Y gilt f ( [mm] f^{-1} [/mm] (V)) [mm] \subseteq [/mm] V. Gleichheit gilt genau dann für jedes V [mm] \subset [/mm] Y, wenn f surjektiv ist.
Ich hab hier mal angefangen mit bzw. ich hab hab mir das was mir in diesem forum jemand gesagt hab ein bisschen geordnet.
a) z. z. für V [mm] \subseteq [/mm] Y gilt f ( [mm] f^{-1} [/mm] (V)) [mm] \subseteq [/mm] V
sei y [mm] \in [/mm] f (f ^-1 (V))
dann gibt es ein y [mm] \in f^{-1} [/mm] mit f (x) = y
wegen x [mm] \in f^{-1} [/mm] (V) gilt aber: f (x) [mm] \in [/mm] V
also y [mm] \in [/mm] V
b) z. z. f ( [mm] f^{-1} [/mm] (V)) = V genau dann wenn f surjektiv ist
1) sei f surjektiv z. z.
i) f ( [mm] f^{-1} [/mm] (V)) [mm] \subseteq [/mm] V
ii) V [mm] \subseteq [/mm] f [mm] (f^{-1} [/mm] (V))
zu i) gezeigt in Teil a
zu ii) sei y [mm] \in [/mm] V
dann gibt es x [mm] \in [/mm] X mit f (x) =y also y [mm] \in [/mm] f (X)
also: x [mm] \in f^{-1} [/mm] (V) also X = [mm] f^{-1}
[/mm]
Dann ist: y [mm] \in [/mm] f [mm] (f^{-1} [/mm] (V))
2) sei f ( [mm] f^{-1} [/mm] (V)) [mm] \subseteq [/mm] V
z. z. : f ist surjektiv
.... jetzt hab ich hier die Lösung bekommen...:
sei y [mm] \in [/mm] Y
{ y } = f ( [mm] f^{-1} [/mm] ( {y}))
also gibt es hier ein x [mm] \in f^{-1} [/mm] ({y})´mit f (x) = y
damit ist f surjektiv
Also..... erstmal würd ich gern wissen ob das so okay ist...
Dann ist mir hier im letzten teil net so klar, warum ich { y } jetzt da so einfach in der Gleichung nehmen darf, denn in der Aufgabe steht doch "Gleichheit gilt genau dann für jedes V [mm] \subset [/mm] Y, wenn f surjektiv ist." Ich hab doch hier nur zur Voraussetzung V [mm] \subset [/mm] Y und nicht Y = V
Gruß Kati
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Hallo,
sieht gar nicht so schlecht aus!
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> Es seien X, Y Mengen und f: X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung
>
> Für V [mm]\subseteq[/mm] Y gilt f ( [mm]f^{-1}[/mm] (V)) [mm]\subseteq[/mm] V.
> Gleichheit gilt genau dann für jedes V [mm]\subset[/mm] Y, wenn f
> surjektiv ist.
>
> a) z. z. für V [mm]\subseteq[/mm] Y gilt f ( [mm]f^{-1}[/mm] (V)) [mm]\subseteq[/mm]
> V
[Wunderbar! Da steht was Du zeigen willst. Das macht es wirklich etwas leichter, durchzublicken. Da, wo ich die Pfeile am Zeilenanfang weggemacht habe, habe ich Kleinigkeiten geändert. )
Bew.
> sei y [mm]\in[/mm] f (f ^-1 (V))
dann gibt es ein x [mm]\in f^{-1}(V)[/mm] mit f (x) = y
wegen x [mm]\in f^{-1}[/mm] (V) gilt aber: y=f (x) [mm]\in[/mm] V
>
> b) z. z. f ( [mm]f^{-1}[/mm] (V)) = V genau dann wenn f surjektiv
> ist
>1) sei f surjektiv z. z.
> i) f ( [mm]f^{-1}[/mm] (V)) [mm]\subseteq[/mm] V
> ii) V [mm]\subseteq[/mm] f [mm](f^{-1}[/mm] (V))
>
> zu i) gezeigt in Teil a
> zu ii) sei y [mm]\in[/mm] V
Weil f surjektiv, gibt es ein x [mm]\in[/mm] X mit f (x) =y [mm] \in [/mm] V
> also: x [mm]\in f^{-1}[/mm] (V)
> Dann ist: y=f(x) [mm]\in[/mm] f [mm](f^{-1}[/mm] (V))
>2) Sei f ( [mm] f^{-1})(V)) [/mm] = V für alle Teilmengen V von Y.
> z. z. : f ist surjektiv
> sei y [mm]\in[/mm] Y
Nach Voraussetzung ist {y} = f ( [mm]f^{-1}[/mm] ( {y}))
also gibt es ein x [mm]\in f^{-1}[/mm] ({y}) [mm] \subseteq [/mm] X´mit f (x) = y.
> Damit ist f surjektiv
>
> Also..... erstmal würd ich gern wissen ob das so okay
> ist...
Ich habe Kleinigkeiten geändert, aber ich fand's schon ziemlich gut. Es war nichts Falsches dabei.
> Dann ist mir hier im letzten teil net so klar, warum ich {
> y } jetzt da so einfach in der Gleichung nehmen darf, denn
> in der Aufgabe steht doch "Gleichheit gilt genau dann für
> jedes V [mm]\subset[/mm] Y, wenn f surjektiv ist." Ich hab doch
> hier nur zur Voraussetzung V [mm]\subset[/mm] Y und nicht Y = V
Na, dann will ich Dir Deinen eigenen Teil b) nochmal erklären.
In b) möchtest Du zeigen, daß die Mengen genau dann gleich sind, wenn f surjektiv ist.
Dieser Beweis hat zwei Richtungen, was Du sehr schön erkannt und vor allem auch dargestellt hat, nämlich 1) und 2).
In 1) zeigst Du: surjektiv ==> Mengen gleich.
In 2) zeigst Du: Mengen gleich ==> surjektiv.
Ich weiß nicht, ob es ein bloßer Schreibfehler war, der Dich wirr gemacht hast. Da, wo jetzt ein rotes = steht, hattest Du ein Teilmengenzeichen.
Aber ansonsten ist es richtig. Nach Voraussetzung gilt die Gleichheit für alle Teilmengen V von Y, also auch für V:={y}.
Gruß v. Angela
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> Gruß Kati
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