Abbildung eigentlich? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:56 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Seien X,Y lokal kompakte topologische Räume mit abzählbarer Topologie; sei weiter [mm] f:X\rightarrow [/mm] Y stetig. Zeigen Sie, dass f eigentlich
genau dann, wenn für jede Folge [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] ohne H.P. in X auch die Bildfolge [mm] (f(x_n))_{n\in \IN} [/mm] ohne H.P. in Y ist. |
Tag Leute,
also zunächst die Hinrichtung mit Widerspruchsbeweis.
Sei $ [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] $ eine beliebige Folge ohne H.P. in X und $ [mm] (f(x_n))_{n\in \IN} [/mm] $ die zugehörige Bildfolge in Y.
Angenommen $ [mm] (f(x_n))_{n\in \IN} [/mm] $ besitzt mindestens einen H.P. in Y. Dann existiert ein $ [mm] f(x_n) [/mm] $ mit einem $ [mm] n\in \IN, [/mm] $ sodass für jede Umgebung U von diesem $ [mm] f(x_n) [/mm] $ unendlich viele Bildfolgenglieder in U liegen, d.h. es gibt ein $ [mm] M\subset \IN [/mm] $ mit $ [mm] |M|=\infty, [/mm] $ sodass $ [mm] f(x_m)\in [/mm] $ U für alle $ [mm] m\in [/mm] $ M. Da f stetig, ist $ [mm] f^{-1}(U) [/mm] $ auch Umgebung in X mit $ [mm] x_n=f^{-1}(f(x_n))\in f^{-1}(U) [/mm] $ sowie $ [mm] x_m=f^{-1}(f(x_m))\in f^{-1}(U). [/mm] $ Somit liegen in der Umgebung $ [mm] f^{-1}(U) [/mm] $ von $ [mm] x_n [/mm] $ unendlich viele Folgenglieder $ [mm] x_m, [/mm] $ wodurch die Folge $ [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] $ einen H.P. in X hat. Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Also hat auch die Bildfolge $ [mm] (f(x_n))_{n\in \IN} [/mm] $ keinen H.P. in Y.
Ist das richtig so wie ich mir das gedacht hab? Bin für Korrekturen dankbar.
So und nun noch die Rückrichtung. Da fehlt mir bisher noch die richtige Idee. Ich hab bisher mal folgendes aufgeschrieben:
Sei [mm] y\in [/mm] Y, [mm] B_X [/mm] eine Basis von X. Dann gibt es aufgrund der lokalen Kompaktheit von Y eine kompakte Umgebung [mm] S\subset [/mm] Y von y. Da f stetig, ist auch [mm] f^{-1}(S) [/mm] offen in X. Mit [mm] B_X [/mm] abzählbar, können wir [mm] f^{-1}(S) [/mm] auch schreiben als [mm] f^{-1}(S)=\bigcup_{i\in I} B_i [/mm] mit [mm] B_i\in B_X. [/mm]
Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich hier weitermache oder überhaupt wie ich die Rückrichtung hinkriegen kann?? Vielen Dank schon mal.
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> Tag Leute,
> also zunächst die Hinrichtung mit Widerspruchsbeweis.
es scheint, dass sich die Hinrichtungen im Matheraum
aus unerfindlichen Gründen häufen. Vor wenigen Tagen
habe ich schon von einer gehört ...
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja is richtig. Ich hatte die Frage schon mal drin, allerdings ohne Erfolg. Nun also der zweite Versuch und die Hoffnung, dass mir jemand dabei helfen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 17.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Es muss ja keine detaillierte Komplett-Lösung werden, würd schon reichen wenns an kleiner Tipp wäre :) Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Di 17.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ich wurde darauf aufmerksam gemacht, dass eventuell der Begriff "eigentlich" nicht bekannt ist. Daher nun eine Definition:
Eine Abbildung f heißt eigentlich, wenn Urbilder kompakter Mengen wiederum kompakt sind.
Ich hoffe, dass damit eventuelle Unklarheiten beseitigt sind und mir jemand dabei helfen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien X,Y lokal kompakte topologische Räume mit
> abzählbarer Topologie; sei weiter [mm]f:X\rightarrow[/mm] Y stetig.
> Zeigen Sie, dass f eigentlich
> genau dann, wenn für jede Folge [mm](x_n)_{n\in \IN}[/mm] ohne
> H.P. in X auch die Bildfolge [mm](f(x_n))_{n\in \IN}[/mm] ohne H.P.
> in Y ist.
>
> also zunächst die Hinrichtung mit Widerspruchsbeweis.
Du nimmst also an, dass $f$ eigentlich sei.
> Sei [mm](x_n)_{n\in \IN}[/mm] eine beliebige Folge ohne H.P. in X
> und [mm](f(x_n))_{n\in \IN}[/mm] die zugehörige Bildfolge in Y.
> Angenommen [mm](f(x_n))_{n\in \IN}[/mm] besitzt mindestens einen
> H.P. in Y.
Also:
> Dann existiert ein [mm]f(x_n)[/mm] mit einem [mm]n\in \IN,[/mm]
> sodass für jede Umgebung U von diesem [mm]f(x_n)[/mm] unendlich
> viele Bildfolgenglieder in U liegen,
Diesen Satz solltest du dringend umschreiben.
> d.h. es gibt ein
> [mm]M\subset \IN[/mm] mit [mm]|M|=\infty,[/mm] sodass [mm]f(x_m)\in[/mm] U für alle
> [mm]m\in[/mm] M. Da f stetig, ist [mm]f^{-1}(U)[/mm] auch Umgebung in X mit
> [mm]x_n=f^{-1}(f(x_n))\in f^{-1}(U)[/mm] sowie [mm]x_m=f^{-1}(f(x_m))\in f^{-1}(U).[/mm]
> Somit liegen in der Umgebung [mm]f^{-1}(U)[/mm] von [mm]x_n[/mm] unendlich
> viele Folgenglieder [mm]x_m,[/mm]
Soweit ok.
> wodurch die Folge [mm](x_n)_{n\in \IN}[/mm]
> einen H.P. in X hat.
Noe, wieso das? Nur weil in bestimmten Umgebungen unendlich viele Folgenglieder liegen, liegen sie noch nicht in allen Umgebungen?
Nimm mal die Funktion $f : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] 0$. Die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n [/mm] = n$ hat die Bildfolge [mm] $(0)_n$, [/mm] hat also den Haeufungspunkt 0. Fuere jede Umgebung $U$ von 0 ist [mm] $f^{-1}(U) [/mm] = [mm] \IR$, [/mm] wo alle Folgenglieder drinnen liegen. Trotzdem hat [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] keine Haeufungspunkte.
> Ist das richtig so wie ich mir das gedacht hab? Bin für
> Korrekturen dankbar.
Du musst schon verwenden, dass $f$ eigentlich ist.
> So und nun noch die Rückrichtung. Da fehlt mir bisher noch
> die richtige Idee. Ich hab bisher mal folgendes
> aufgeschrieben:
> Sei [mm]y\in[/mm] Y, [mm]B_X[/mm] eine Basis von X. Dann gibt es aufgrund
> der lokalen Kompaktheit von Y eine kompakte Umgebung
> [mm]S\subset[/mm] Y von y. Da f stetig, ist auch [mm]f^{-1}(S)[/mm] offen in
> X.
Wieso das?! Seit wann sind Umgebungen offen? (Und kompakte Mengen sind seltenst offen.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Mi 18.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay ich habs nochmal mit Hilfe deiner Anmerkungen überarbeitet und beim Tutor abgegeben. Vielen Dank nochmal.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 18.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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