Abbildung bijektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Di 05.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Betrachte die Abbildung f: [mm] \IR \to \IR [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] 3x -|x|.
Zeige, dass die Abbildung bijektiv ist. |
Hallo,
die Funktion ist ja nach Definition des Betrags äquivalent zu f(x) = [mm] \begin{cases} 2x , & \mbox{für } x \ge 0 \\ 4x, & \mbox{sonst } \end{cases}.
[/mm]
Um zu zeigen, dass f surjektiv ist, hab ich die beiden Fälle y (aus der Zielmenge) [mm] \ge [/mm] 0 und y <0 betrachtet.
Fall 1: y [mm] \ge [/mm] 0.
Wähle x = [mm] \bruch{y}{2}. [/mm] Somit gilt: f(x)= [mm] f(\bruch{y}{2}) [/mm] = [mm] 2*\bruch{y}{2} [/mm] =y
Damit hat jedes Element der Zielmenge [mm] \ge [/mm] 0 ein Urbild.
Fall 2: y < 0
Wähle x = [mm] \bruch{y}{4}. [/mm] Somit gilt: f(x)= [mm] f(\bruch{y}{4}) [/mm] = [mm] 4*\bruch{y}{4} [/mm] =y
Damit hat jedes Element der Zielmenge < 0 ein Urbild.
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist surjektiv.
Ist das soweit ok?
Doch bei der Injektivität hänge ich, wenn ich hier eine ähnliche Fallunterscheidung machen will, denn es könnte ja theoretisch sein, dass ein [mm] x_{1}<0 [/mm] und ein [mm] x_{2} \ge [/mm] 0 auf das gleiche Element abbilden...?
[mm] 4x_{1} [/mm] = [mm] 2x_{2} [/mm] hilft mir da ja wohl kaum weiter.
Wie geht man bei einer abschnittsweise definierten Funktion also am besten vor um die Injektivität zu zeigen?
Vielen Dank schon mal im voraus und viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Di 05.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Betrachte die Abbildung f: [mm]\IR \to \IR[/mm] : x [mm]\mapsto[/mm] 3x
> -|x|.
> Zeige, dass die Abbildung bijektiv ist.
> Hallo,
>
> die Funktion ist ja nach Definition des Betrags äquivalent
> zu f(x) = [mm]\begin{cases} 2x , & \mbox{für } x \ge 0 \\ 4x, & \mbox{sonst } \end{cases}.[/mm]
>
> Um zu zeigen, dass f surjektiv ist, hab ich die beiden
> Fälle y (aus der Zielmenge) [mm]\ge[/mm] 0 und y <0 betrachtet.
> Fall 1: y [mm]\ge[/mm] 0.
> Wähle x = [mm]\bruch{y}{2}.[/mm] Somit gilt: f(x)= [mm]f(\bruch{y}{2})[/mm]
> = [mm]2*\bruch{y}{2}[/mm] =y
> Damit hat jedes Element der Zielmenge [mm]\ge[/mm] 0 ein Urbild.
> Fall 2: y < 0
> Wähle x = [mm]\bruch{y}{4}.[/mm] Somit gilt: f(x)= [mm]f(\bruch{y}{4})[/mm]
> = [mm]4*\bruch{y}{4}[/mm] =y
> Damit hat jedes Element der Zielmenge < 0 ein Urbild.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist surjektiv.
> Ist das soweit ok?
Ja.
> Doch bei der Injektivität hänge ich, wenn ich hier eine
> ähnliche Fallunterscheidung machen will, denn es könnte
> ja theoretisch sein, dass ein [mm]x_{1}<0[/mm] und ein [mm]x_{2} \ge[/mm] 0
> auf das gleiche Element abbilden...?
Nein , das kann nicht sein. Denn ist [mm] f(x_1)=f(x_2), [/mm] so haben wir
$ [mm] 4x_{1} [/mm] $ = $ [mm] 2x_{2} [/mm] $.
Ist [mm] x_2 \ge [/mm] 0, so folgt: [mm] 4x_1 \ge [/mm] 0, also [mm] x_1 \ge [/mm] 0.
FRED
> [mm]4x_{1}[/mm] = [mm]2x_{2}[/mm] hilft mir da ja wohl kaum weiter.
> Wie geht man bei einer abschnittsweise definierten
> Funktion also am besten vor um die Injektivität zu
> zeigen?
>
> Vielen Dank schon mal im voraus und viele Grüße
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