Abbildung bezüglich Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 So 16.03.2008 | | Autor: | Cabby |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IR^4 \to \IR^4$, [/mm] $x [mm] \to [/mm] Ax$
mit
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 }
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \varphi [/mm] nilpotent ist.
Wie sieht die Darstellung [mm] [\varphi]_B [/mm] von [mm] \varphi [/mm] mit nilzyklischen Matrizen bezüglich einer geeigneten Basis B des [mm] \IR^4 [/mm] aus?
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Mojn
Ich habe bereits herausgefunden, dass A*A = 0 ist. Aber wie gehts dann weiter?
Ich habe mal mit dem Standardzeugs weitergemacht und die Eigenwerte berechnet
Das charakteristische Polynom war [mm] t^4 [/mm] -> [mm] t^4 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow t_{1,2,3,4} [/mm] = 0
Ich glaube aber nicht, dass mich das weiterbringt, da man hier ja etwas mit nilzyklischen Matrizen machen muss.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo Cabby,
ich verstehe die Aufgabe so, dass nach der Jordan-Normalform gefragt ist. Dann nutzen dir die Eigenwerte schon. Was du wohl noch brauchst, sind die Eigenräume und jeweils eine Basis zum Eigenraum ...
Hilft dir das weiter?
Gruß, Manatu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Cabby |
| Aufgabe | Gegeben sei $ [mm] \varphi [/mm] : [mm] \IR^4 \to \IR^4 [/mm] $, $ x [mm] \to [/mm] Ax $
mit
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 } [/mm] $
Zeigen Sie, dass $ [mm] \varphi [/mm] $ nilpotent ist.
Wie sieht die Darstellung $ [mm] [\varphi]_B [/mm] $ von $ [mm] \varphi [/mm] $ mit nilzyklischen Matrizen bezüglich einer geeigneten Basis B des $ [mm] \IR^4 [/mm] $ aus? |
Hallo
> > Ich habe bereits herausgefunden, dass A*A = 0 ist. Aber wie gehts dann weiter?
> > Das charakteristische Polynom war $ [mm] t^4 [/mm] $ -> $ [mm] t^4 [/mm] $ = 0 $ [mm] \Rightarrow t_{1,2,3,4} [/mm] $ = 0
> ich verstehe die Aufgabe so, dass nach der
> Jordan-Normalform gefragt ist. Dann nutzen dir die
> Eigenwerte schon. Was du wohl noch brauchst, sind die
> Eigenräume und jeweils eine Basis zum Eigenraum ...
Bei den Nullen glaube ich immer das Ergebnis ist falsch
Ich habe mal den Eigenraum berechnet
A-0I = A
Zeilenumformung [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Hieraus folgt auch $Im(A-0I) = [mm] \{ \pmat{1\\1\\0 \\ 0} , \pmat{0\\0\\1\\1} \}$
[/mm]
Und jetzt muss ich noch berechnen
[mm] $(A-0I)*w_1 [/mm] = [mm] \pmat{1\\1\\0 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $(A-0I)*w_2 [/mm] = [mm] \pmat{0\\0\\1 \\ 1}$
[/mm]
Und dann wäre die Jordanbasis
B = ( [mm] \pmat{1\\1\\0 \\ 0} [/mm] , [mm] w_1, \pmat{0\\0\\1 \\ 1} ,w_2) [/mm]
Aber die Jordanmatrix, wie sieht die dann aus?
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Hallo Cabby,
> Gegeben sei [mm]\varphi : \IR^4 \to \IR^4 [/mm], [mm]x \to Ax[/mm]
>
> mit
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 }[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\varphi[/mm] nilpotent ist.
> Wie sieht die Darstellung [mm][\varphi]_B[/mm] von [mm]\varphi[/mm] mit
> nilzyklischen Matrizen bezüglich einer geeigneten Basis B
> des [mm]\IR^4[/mm] aus?
> Hallo
> > > Ich habe bereits herausgefunden, dass A*A = 0 ist.
> Aber wie gehts dann weiter?
>
> > > Das charakteristische Polynom war [mm]t^4[/mm] -> [mm]t^4[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow t_{1,2,3,4}[/mm] = 0
>
> > ich verstehe die Aufgabe so, dass nach der
> > Jordan-Normalform gefragt ist. Dann nutzen dir die
> > Eigenwerte schon. Was du wohl noch brauchst, sind die
> > Eigenräume und jeweils eine Basis zum Eigenraum ...
>
> Bei den Nullen glaube ich immer das Ergebnis ist falsch
>
> Ich habe mal den Eigenraum berechnet
>
> A-0I = A
> Zeilenumformung [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow v_1[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> [mm]v_2[/mm] =
> [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> Hieraus folgt auch [mm]Im(A-0I) = \{ \pmat{1\\1\\0 \\ 0} , \pmat{0\\0\\1\\1} \}[/mm]
>
>
> Und jetzt muss ich noch berechnen
>
> [mm](A-0I)*w_1 = \pmat{1\\1\\0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm](A-0I)*w_2 = \pmat{0\\0\\1 \\ 1}[/mm]
>
> Und dann wäre die Jordanbasis
> B = ( [mm]\pmat{1\\1\\0 \\ 0}[/mm] , [mm]w_1, \pmat{0\\0\\1 \\ 1} ,w_2)[/mm]
Die Jordanbasis ist [mm]B = \left( \pmat{1\\-1\\0 \\ 0} , w_1, \pmat{0\\0\\1 \\ -1}, w_{2}\right)[/mm]
>
> Aber die Jordanmatrix, wie sieht die dann aus?
>
Da es von den Jordanblöcken der Größe 2 ebenfalls 2 gibt, dürfte das nicht allzu schwierig sein.
Die Jordanmatrix ergibt sich dann zu:
[mm]B^{-1}*A*B=\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Cabby |
Hallo
> > Gegeben sei [mm]\varphi : \IR^4 \to \IR^4 [/mm], [mm]x \to Ax[/mm]
> >
> > mit
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 }[/mm]
>
> >
> > Zeigen Sie, dass [mm]\varphi[/mm] nilpotent ist.
> > Wie sieht die Darstellung [mm][\varphi]_B[/mm] von [mm]\varphi[/mm] mit
> > nilzyklischen Matrizen bezüglich einer geeigneten Basis B
> > des [mm]\IR^4[/mm] aus?
> > Hallo
> > > > Ich habe bereits herausgefunden, dass A*A = 0 ist.
> > Aber wie gehts dann weiter?
> >
> > > > Das charakteristische Polynom war [mm]t^4[/mm] -> [mm]t^4[/mm] = 0
> > [mm]\Rightarrow t_{1,2,3,4}[/mm] = 0
> >
> > > ich verstehe die Aufgabe so, dass nach der
> > > Jordan-Normalform gefragt ist. Dann nutzen dir die
> > > Eigenwerte schon. Was du wohl noch brauchst, sind die
> > > Eigenräume und jeweils eine Basis zum Eigenraum ...
> >
> > Bei den Nullen glaube ich immer das Ergebnis ist falsch
> >
> > Ich habe mal den Eigenraum berechnet
> >
> > A-0I = A
> > Zeilenumformung [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]\Rightarrow v_1[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> > [mm]v_2[/mm] =
> > [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> >
> > Hieraus folgt auch [mm]Im(A-0I) = \{ \pmat{1\\1\\0 \\ 0} , \pmat{0\\0\\1\\1} \}[/mm]
>
> >
> >
> > Und jetzt muss ich noch berechnen
> >
> > [mm](A-0I)*w_1 = \pmat{1\\1\\0 \\ 0}[/mm]
> >
> > [mm](A-0I)*w_2 = \pmat{0\\0\\1 \\ 1}[/mm]
> >
> > Und dann wäre die Jordanbasis
> > B = ( [mm]\pmat{1\\1\\0 \\ 0}[/mm] , [mm]w_1, \pmat{0\\0\\1 \\ 1} ,w_2)[/mm]
>
> Die Jordanbasis ist [mm]B = \left( \pmat{1\\-1\\0 \\ 0} , w_1, \pmat{0\\0\\1 \\ -1}, w_{2}\right)[/mm]
>
> >
> > Aber die Jordanmatrix, wie sieht die dann aus?
> >
>
> Da es von den Jordanblöcken der Größe 2 ebenfalls 2 gibt,
> dürfte das nicht allzu schwierig sein.
>
> Die Jordanmatrix ergibt sich dann zu:
>
> [mm]B^{-1}*A*B=\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Also das Minimalpolynom ist gewesen [mm] m_A [/mm] = [mm] t^2
[/mm]
Damit ergibt sich, dass der erste Block die Größe 2 hat. Jetzt steht bei dir beim zweiten Block
[mm] B^{-1}*A*B=\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \red{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Das heißt, der zweite Block hat auch dieGröße 2. Aber wieso? Dass er zwei Blöcke gibt, ist mir klar, weil ja die Dimension des Kernes 2 ist.
Kannst du mir erklären, warum es nicht so lautet
[mm] \pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \red{0} \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Du hattest das jetzt mit [mm] B^{-1}AB [/mm] berechnet, aber wir haben das nie so gemacht und haben eigentlich auch nie ein B angegeben. Wir lesen das immer irgendwie ab. Oder muss ich hier wirklich die Jordanbasis berechnen?
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> > Die Jordanmatrix ergibt sich dann zu:
> >
> > [mm]B^{-1}*A*B=\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Also das Minimalpolynom ist gewesen [mm]m_A[/mm] = [mm]t^2[/mm]
> Damit ergibt sich, dass der erste Block die Größe 2 hat.
> Jetzt steht bei dir beim zweiten Block
>
> [mm]B^{-1}*A*B=\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \red{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Das heißt, der zweite Block hat auch dieGröße 2. Aber
> wieso? Dass er zwei Blöcke gibt, ist mir klar, weil ja die
> Dimension des Kernes 2 ist.
> Kannst du mir erklären, warum es nicht so lautet
> [mm]\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \red{0} \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Du hattest das jetzt mit [mm]B^{-1}AB[/mm] berechnet, aber wir haben
> das nie so gemacht und haben eigentlich auch nie ein B
> angegeben. Wir lesen das immer irgendwie ab. Oder muss ich
> hier wirklich die Jordanbasis berechnen?
Hallo,
Ich verstehe die Aufgabenstellung so, daß Du nicht die Jordanbasis angeben mußt.
Du hast einen Jordanblock der Länge 4, und Du weißt aus der Dimension des Eigenraumes, daß dieser aus zwei Jordankästchen besteht. Also 2,2 oder 3,1.
Weiter hast Du herausgefunden (aus [mm] (A-0*E)^2==), [/mm] daß das Längst Jordankästchen die Länge 2 hat.
Also bleibt nur 2,2.
Bei dieser Variante
[mm] \pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \red{0} \\ 0 & 0 & 0 & 0}=\pmat{\lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda& 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda &0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda} [/mm] mit [mm] \lambda=0
[/mm]
hättest Du ja drei Jordankästchen: 2,1,1.
Gruß v. Angela
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