Abbildung auf Äquivalenzklasse < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:40 Do 14.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] "$\sim$" [/mm] auf M eine Äquivalenzrelation, und sei [mm] $\tilde{M}$ [/mm] die Menge der Äquivalenzklassen [mm] $\tilde{x}=\{y \in M; y \sim x \} [/mm] ( [mm] x\in [/mm] M)$.
a) Zeige, dass die Abbildung $f:M [mm] \rightarrow \tilde{M}$ [/mm] durch [mm] $f(x)=\tilde{x}$ [/mm] definiert surjektiv ist.
b) Zeige, dass [mm] $f(x_{1})=f(x_{2}) \gdw x_{1} \sim x_{2}$
[/mm]
c) Sei P eine Menge, und sei [mm] $\phi [/mm] : M [mm] \rightarrow [/mm] P$ mit [mm] $\phi(x_{1}) [/mm] = [mm] \phi(x_{2}) \gdw x_{1} \sim x_{2}$. [/mm] Zeige, dass es [mm] $\tilde{\phi}: \tilde{M} \rightarrow [/mm] P$ gibt, mit Kompositum [mm] $\tilde{\phi}\circ [/mm] f = [mm] \phi$.
[/mm]
d) Sei [mm] $g:\tilde{M}\rightarrow [/mm] M$ eine Abbildung mit $f [mm] \circ [/mm] g$ die Identitätsabbildung auf [mm] $\tilde{M}$, [/mm] und sei $N= [mm] g(\tilde{M})$. [/mm] Zeige, dass die [mm] $\tilde{x} (x\in [/mm] N)$ disjunkt sind, mit Vereinigung M. |
Hallo,
a) Sei [mm] $\tilde{x}\in \tilde{M}$, [/mm] nach der Definition der Äquivalenzklasse gibt es ein $x [mm] \in [/mm] M$ dass in [mm] \tilde{x}$ [/mm] liegt. Also haben wir für jedes [mm] $\tilde{x} \in \tilde{M}$ [/mm] mindestens ein Element $x [mm] \in [/mm] M$ dass auf [mm] $\tilde{M}$ [/mm] abgebildet wird.
b) [mm] f(x_{1})=\tilde{x_{1}}= \tilde{x_{2}}=f(x_{2}) \Rightarrow \exists y\sim x_{1} \wedge [/mm] y [mm] \sim x_{2} \gdw x_{1} \sim x_{2}$ [/mm]
d) Die Aufgabenstellung sagt doch, dass die Abbildung injektiv ist. Das ist gleichbedeutend mit linearer Disjunktheit und $N [mm] \cap \tilde{M} [/mm] = M$
Beweisansatz:1. Fall f sei injektiv, dann kann man zu jedem $v [mm] \in [/mm] g(v)$ ein eindeutiges Element $t [mm] \in [/mm] M$ mit [mm] t=f^{-1}(v) [/mm] zuordnen und jedem [mm] $v\in [/mm] N$ ,$v [mm] \notin [/mm] g(f)$ ein [mm] $x_{0} \in [/mm] M$. Damit ist gezeigt: [mm] $gf=id_{M}$
[/mm]
2. Fall: Gegeben sei $gf= [mm] id_{M}$ [/mm]
Sind $x,y [mm] \in [/mm] M$ mit f(x)=f(y), so folgt die Injektivität von f aus:
[mm] $x=id_{M}(x)=gf(x)=g(f(x))=g(f(y))=gf(y)=id_{M}(y)=y$
[/mm]
Damit ist die Injektivität von f gezeigt und daraus folgt die Disjunktheit und $N [mm] \cap \tilde{M}=M$
[/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Do 14.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei "[mm]\sim[/mm]" auf M eine Äquivalenzrelation, und sei
> [mm]\tilde{M}[/mm] die Menge der Äquivalenzklassen [mm]\tilde{x}=\{y \in M; y \sim x \} ( x\in M)[/mm].
>
> a) Zeige, dass die Abbildung [mm]f:M \rightarrow \tilde{M}[/mm]
> durch [mm]f(x)=\tilde{x}[/mm] definiert surjektiv ist.
>
> b) Zeige, dass [mm]f(x_{1})=f(x_{2}) \gdw x_{1} \sim x_{2}[/mm]
>
> c) Sei P eine Menge, und sei [mm]\phi : M \rightarrow P[/mm] mit
> [mm]\phi(x_{1}) = \phi(x_{2}) \gdw x_{1} \sim x_{2}[/mm]. Zeige,
> dass es [mm]\tilde{\phi}: \tilde{M} \rightarrow P[/mm] gibt, mit
> Kompositum [mm]\tilde{\phi}\circ f = \phi[/mm].
>
> d) Sei [mm]g:\tilde{M}\rightarrow M[/mm] eine Abbildung mit [mm]f \circ g[/mm]
> die Identitätsabbildung auf [mm]\tilde{M}[/mm], und sei [mm]N= g(\tilde{M})[/mm].
> Zeige, dass die [mm]\tilde{x} (x\in N)[/mm] disjunkt sind, mit
> Vereinigung M.
> Hallo,
>
> a) Sei [mm]$\tilde{x}\in \tilde{M}$,[/mm] nach der Definition der
> Äquivalenzklasse gibt es ein $x [mm]\in[/mm] M$ dass in [mm]\tilde{x}$[/mm]
> liegt. Also haben wir für jedes [mm]$\tilde{x} \in \tilde{M}$[/mm]
> mindestens ein Element $x [mm]\in[/mm] M$ dass auf [mm]$\tilde{M}$[/mm]
> abgebildet wird.
ok
> b) [mm]f(x_{1})=\tilde{x_{1}}= \tilde{x_{2}}=f(x_{2}) \Rightarrow \exists y\sim x_{1} \wedge[/mm]
> y [mm]\sim x_{2} \gdw x_{1} \sim x_{2}$[/mm]
Etwas unsauber aufgeschrieben, aber richtig.
> d) Die Aufgabenstellung sagt doch, dass die Abbildung
> injektiv ist.
Welche Abbildung? [mm] $f\circ [/mm] g$ ? Ja.
> Das ist gleichbedeutend mit linearer
> Disjunktheit und [mm]N \cap \tilde{M} = M[/mm]
Das ist Unsinn. N ist eine Teilmenge von M, [mm] $\tilde [/mm] M$ eine Menge von Teilmengen von M, und daher $N [mm] \cap \tilde{M} =\emptyset$. [/mm]
> Beweisansatz:1. Fall f sei injektiv,
f ist nur dann injektiv, wenn jede Äquivalenzklasse genau einen Repräsentanten aus M hat, also alle Elemente von [mm] $\tilde [/mm] M$ Mengen mit genau einem Element von M sind.
> 2. Fall: Gegeben sei [mm]gf= id_{M}[/mm]
Das kann nur dann sein, wenn f injektiv ist, was im Allgemeinen nicht der Fall ist.
Tipp: zeige, dass f, eingeschränkt auf N, injektiv ist und folgere daraus die Behauptung.
Viele Grüße
Rainer
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