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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Deztiny |
| Aufgabe | Sei f: X [mm] \Rightarrow [/mm] Y Abbildung. Zeigen Sie:
i.) Für alle Teilmengen A [mm] \subseteq [/mm] X und B [mm] \subseteq [/mm] Y gilt A [mm] \subseteq f^{-1} [/mm] (f(A)) und f ( [mm] f^{-1} [/mm] (B)) [mm] \subseteq [/mm] B.
ii.) f ist injektiv genau dann, wenn A = [mm] f^{-1}(f(A)) [/mm] ist für jede Teilmenge A [mm] \subseteq [/mm] X.
iii.) f ist surjektiv genau dann, wenn [mm] f(f^{-1}(B)) [/mm] = B ist für jede Teilmenge B [mm] \subseteq [/mm] Y |
Hallo,
ich habe jetzt wieder Mal keine wirkliche Idee, wir ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Ich habe schon Probleme beim Verständnis, was da überhaupt dransteht, aber ich versuche es mal "vorzulesen" (soweit komme ich eben, nicht weiter):
zu i.)
A ist Teilmenge von X.
B ist Teilmenge von Y.
Zu zeigen: A ist Teilmenge "der "Umkehrfunktion" von der Funktion von A"
Diesen "Abschnitt" verstehe ich schon nicht mehr. (wie kann ich mir das bildlich vorstellen?)
Zu zeigen: "Die Funktion von "der Umkehrfunktion" von B" ist Teilmenge von B.
Auch hier ist das Problem analog. Ich verstehe das, wasin (" ") steht, nicht.
wäre sehr dankbar für Ratschläge, Links, UND Ansätze(!) jeder Art!
Vielen Dank schonmal fürs Durchlesen!
Grüße, Dezt!
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Mi 26.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
X={1,2,3,4,5} A=A={1,2,3}
Y={2,4,6,8,10,12,14} B={4,6,8,10,12,14}
f(1)=14,f(2)=12, f(3)=10,f(4)=4 f(5)=6
[mm] f^{-1}(6)=5 [/mm] usw
A={1,2,3} f(A)={10,12,14} [mm] f^{-1}(f(A))={1,2,3}
[/mm]
denk dir andere Abbildungen aus
reelle funktionen auf Intervallen X=[-2,2] [mm] f(x)=x^2 [/mm] A=[-0.5,0.1] f(A)=[0.01,0.25]
Y=[0,5] [mm] f^{-1}(y)=\wurzel{y}
[/mm]
kommst du jetzt zurecht?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:03 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Mach Dir folgendes klar:
1. [mm] f^{-1} [/mm] bez. hier nicht die Umkehrfunktion von f (eine solche muß nicht existieren)
2. [mm] f^{-1}(B):=\{ x\in X: f(x) \in B\}
[/mm]
3. [mm] $f(A):=\{f(x): x \in A \}$
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:28 Do 27.10.2011 | | Autor: | Deztiny |
Danke! Also:
zu 1.) Das macht vielleicht einiges klarer: [mm] f^{-1} [/mm] ist also nur eine Art Umkehrfunktion, die etwas bestimmtes mit den Teilmengen A, B macht.
Was genau? Das beantwortest du in 2.)...
zu 2.) [mm] f^{-1}(B) [/mm] := {x [mm] \in [/mm] X : f(x) [mm] \in [/mm] B}
Ich versuchs:
Da B eine Teilmenge unseres Bildbereichs Y ist; da sucht sich die Umkehrfuktion von B alle x aus dem Definitionsbereich X, deren zugehörige y Werte in B liegen.
Jetzt steht da aber f( [mm] f^{-1}(B) [/mm] ), also f ( x ). Damit bilden wir diese x wieder nach y ab, und diese Y sind nach Voraussetzung ( x [mm] \in [/mm] X : f(x) [mm] \in [/mm] B ) Teilmenge von B!
zu 3.)
f(A) heißt einfach Bild von f... (genauer [mm] f(A):=\{f(x) \in B: x \in A \} [/mm] )
ist also der Sprung von Definitionsbereich [mm] \mapsto [/mm] Bildbereich (in unserem Fall aber nur für die x [mm] \in [/mm] A). [mm] f^{-1}(f(x)) [/mm] ist wieder der Schritt zurück. Also sind wir wieder am Anfang: Bildbereich [mm] \mapsto [/mm] Definitionsbereich. Da Definitionsbereich = X ist, ist A [mm] \subseteq [/mm] X
ich denke ich habe jetzt verstanden was in i.) steht, jedoch wüßte ich nicht, ob eine so schriftliche Begründung von mir (s.o) ausreicht. Wie würde man anfangen es mathematisch zu beweisen? Gibt es dahingehend noch Ansätze?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 29.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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