Abbildung/Umkehrabbildung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien X,Y Banachräume, AB [mm] \in [/mm] Iso(X,Y)
1.) Zeige [mm]B^{-1}-A^{-1} = A^{-1}(A-B)B^{-1}[/mm]
Sei nun Inv: Iso(A,B) [mm] \to [/mm] Iso(A,B) mit [mm] Inv(A)=A^{-1}.
[/mm]
Inv ist stetig auf ganz Iso(X,Y)
2.) Zeigen sie dass Inv stetig diffbar ist und berechnen sie die Ableitung in A |
Also
1.) Habs probiert mit Ausmultiplizieren:
[mm]A^{-1}(A-B)B^{-1} = (A^{-1}A-A^{-1}B)B^{-1} = A^{-1}AB^{-1}-A^{-1}BB^{-1}=B^{-1}-A^{-1}[/mm]
kann ich das so machen? oder gilt [mm] AA^{-1}=1 [/mm] nur wenn ich die Funktionen verknüpfe und nicht multipliziere!?
2.) Für stetig diffbar habe ich leider keinen Ansatz, mal schauen was ich da noch rauskriege. Ich wollte zuerst die Ableitung machen, jedoch hab ich ja nichts konkretes dass ich ableiten kann außer A^-1
Aber mehr als [mm](A^{-1})' = (A')^{-1}[/mm] krieg ich da auch net hin.
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Fr 11.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Also ich muss dazu sagen, dass ich selbst meine liebe Not habe mit diesem "abstract nonsense"...>
> 1.) Habs probiert mit Ausmultiplizieren:
>
> [mm]A^{-1}(A-B)B^{-1} = (A^{-1}A-A^{-1}B)B^{-1} = A^{-1}AB^{-1}-A^{-1}BB^{-1}=B^{-1}-A^{-1}[/mm]
>
> kann ich das so machen? oder gilt [mm]AA^{-1}=1[/mm] nur wenn ich
> die Funktionen verknüpfe und nicht multipliziere!?
A und B sind aus $Iso(X,Y)$, also lineare Bijektionen zwischen Vektorräumen. Wie soll man da bitte (punktweise) multiplizieren? Gemeint ist natürlich hier die Verkettung, d.h. [mm] $AA^{-1}:=A\circ A^{-1}=id_Y$ [/mm] bzw [mm] $A^{-1}A=id_X$. [/mm] D.h. genau genommen müsste am Ende stehen:
$... = [mm] A^{-1}AB^{-1}-A^{-1}BB^{-1}=id_XB^{-1}-A^{-1}id_Y=B^{-1}-A^{-1}$
[/mm]
Zu 2.) Hier bin ich irgendwie auch extrem verwirrt, ok wir haben halt diese Abbildung [mm] $\Phi$, [/mm] die einem Element aus $Iso(X,Y)$ ihr Inverses zuordnet, und wir wissen dass die stetig ist. Für Differnzierbarkeit müssten wir $Iso(X,y)$ als einen Banachraum auffassen können, d.h. als vollst. normierten VR, d.h. man müsste erstmal wissen was in diesem Raum die Skalarmultiplikation, Vektoraddition und die Norm ist...
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:39 Mo 14.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Iso(X,Y) ist mit Sicherheit kein Banachraum, es ist ja noch nicht einmale ein Vektorraum. Ein Banachraum muß es aucgh nicht sein, wie kommst Du darauf ?????
Der erste Teil der Aufgabe zeigt z. B. , dass Iso(X,Y) eine offene Teilmenge des Banachraumes aller stetigen linearen Abbildungen von X nach Y ist.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:54 Mo 14.07.2008 | | Autor: | pelzig |
dachte halt man braucht auf jeden Fall nen Banachraum für Differenzierbarkeit, aber hab schon bemerkt dass eine offene Teilmenge eines Banachraums reicht... Danke trotzdem.
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> Seien X,Y Banachräume, AB [mm]\in[/mm] Iso(X,Y)
>
> 1.) Zeige [mm]B^{-1}-A^{-1} = A^{-1}(A-B)B^{-1}[/mm]
>
> Sei nun Inv: Iso(A,B) [mm]\to[/mm] Iso(A,B) mit [mm]Inv(A)=A^{-1}.[/mm]
> Inv ist stetig auf ganz Iso(X,Y)
>
> 2.) Zeigen sie dass Inv stetig diffbar ist und berechnen
> sie die Ableitung in A
> Also
>
> 1.) Habs probiert mit Ausmultiplizieren:
>
> [mm]A^{-1}(A-B)B^{-1} = (A^{-1}A-A^{-1}B)B^{-1} = A^{-1}AB^{-1}-A^{-1}BB^{-1}=B^{-1}-A^{-1}[/mm]
>
> kann ich das so machen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2.) Für stetig diffbar habe ich leider keinen Ansatz, mal
> schauen was ich da noch rauskriege. Ich wollte zuerst die
> Ableitung machen, jedoch hab ich ja nichts konkretes dass
> ich ableiten kann außer A^-1
> Aber mehr als [mm](A^{-1})' = (A')^{-1}[/mm] krieg ich da auch net
> hin.
Zum Beweis von 2.) kannst Du die in 1.) bewiesene Beziehung verwenden. Betrachte also
[mm]\mathrm{Inv}(A+\Delta A)-\mathrm{Inv}(A)\overset{\text{1.)}}{=}A^{-1}\circ \big(A-\left(A+\Delta A\right)^{-1}\big)\circ \left(A+\Delta A\right)^{-1}=A^{-1}\circ (-\Delta A)\circ (A+\Delta A)^{-1}=\cdots[/mm]
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Hi! Vielen Dank erstmal!
> Zum Beweis von 2.) kannst Du die in 1.) bewiesene
> Beziehung verwenden. Betrachte also
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> [mm]\mathrm{Inv}(A+\Delta A)-\mathrm{Inv}(A)\overset{\text{1.)}}{=}A^{-1}\circ \big(A-\left(A+\Delta A\right)^{-1}\big)\circ \left(A+\Delta A\right)^{-1}=A^{-1}\circ (-\Delta A)\circ (A+\Delta A)^{-1}=\cdots[/mm]
>
das sieht zwar gut aus, aber weiter komm ich danach trotzdem nicht. ich sehe da nicht, ob ich das noch weiter umformen kann, bzw auf was das hinauslaufen soll :(
und dann muss ich auch noch zeigen dass Inv stetig diffbar ist. hast du dazu vllt auch eine idee?
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> Hi! Vielen Dank erstmal!
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> > Zum Beweis von 2.) kannst Du die in 1.) bewiesene
> > Beziehung verwenden. Betrachte also
> >
> > [mm]\mathrm{Inv}(A+\Delta A)-\mathrm{Inv}(A)\overset{\text{1.)}}{=}A^{-1}\circ \big(A-\left(A+\Delta A\right)^{-1}\big)\circ \left(A+\Delta A\right)^{-1}=A^{-1}\circ (-\Delta A)\circ \red{(A+\Delta A)^{-1}}=\cdots[/mm]
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> >
>
> das sieht zwar gut aus, aber weiter komm ich danach
> trotzdem nicht. ich sehe da nicht, ob ich das noch weiter
> umformen kann, bzw auf was das hinauslaufen soll :(
Es soll darauf hinauslaufen zu zeigen, dass die Differenz [mm] $\mathrm{Inv}(A+\Delta A)-\mathrm{Inv}(A)$ [/mm] gleich der Summe einer linearen Abbildung, z.B. [mm] $\Delta A\mapsto A^{-1}\circ (-\Delta A)\circ A^{-1}$, [/mm] angewandt auf [mm] $\Delta [/mm] A$ und einem Term [mm] $o(\parallel \Delta A\parallel)$ [/mm] ist. Zu diesem Zweck würde ich an Deiner Stelle zu zeigen versuchen, dass der Term [mm] $\red{(A+\Delta A)^{-1}}$ [/mm] im obigen Anfangsstück des gewünschten Nachweises gleich [mm] $A^{-1}+O(\parallel \Delta A\parallel)$ [/mm] ist.
> und dann muss ich auch noch zeigen dass Inv stetig diffbar
> ist. hast du dazu vllt auch eine idee?
Diese Frage kannst Du angehen, sobald Du die Ableitung von [mm] $\mathrm{Inv}$ [/mm] an der Stelle $A$ gefunden hast. Angenommen, diese Ableitung von [mm] $\mathrm{Inv}$ [/mm] an der Stelle $A$ wäre tatsächlich die Abbildung [mm] $d\mathrm{Inv}(A):\; \Delta A\mapsto A^{-1}\circ (-\Delta A)\circ A^{-1}$ [/mm] (und mache Dir klar, dass dies im eindimensionalen Fall das richtige Ergebnis ist), dann müsstest Du (nur) noch zeigen, dass die Abbildung [mm] $A\mapsto d\mathrm{Inv}(A)$, [/mm] d.h. die Abbildung [mm] $A\mapsto \big(\Delta A\mapsto A^{-1}\circ (-\Delta A)\circ A^{-1}\big)$ [/mm] stetig ist.
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