Abbildung Surjektiv/Injektiv? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 So 11.01.2009 | | Autor: | djd92l |
| Aufgabe | Es sei $ [mm] V:=\{a_0+a_1\cdot{}x^1+\ldots+a_n\cdot{}x^n | a_0,\ldots,a_n \in \IR, n \in \IN\} [/mm] $ der $ [mm] \IR-Vektorraum [/mm] $ aller Polynome mit reellen Koeffizienten.
Beweisen Sie, dass die Abbildung
$ [mm] \gamma [/mm] : V [mm] \to [/mm] V, [mm] \gamma(p)(x) [/mm] := [mm] \bruch{p(x)-p(0)}{x}$
[/mm]
linear ist. Ist sie injektiv? Ist sie surjektiv? |
Hallo nocheinmal,
eine ähnliche Aufgabe habe ich gestern schon einmal hierEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gestellt.
Diese ist jetzt eine andere aber ähnlich. Ich wollte jetzt nur noch einmal fragen, ob das so richtig ist und ob ich es verstanden habe.
Die Linearität habe ich bewiesen, das ist kein Problem.
Injektiv: Ja, denn:
Sei $p, p' \in V$ und $p \not= p'$.
Dann folgt aus $p \not= p' \Rightarrow \bruch{p(x)-p(0)}{x} \not= \bruch{p'(x)-p'(0)}{x}$, da man hier das x noch wegmultiplizieren könnte und dann hätte man nur p und p' verschieden. Das war die Vorraussetzung und damit ist es injektiv. $\Box$
Surjektiv: Nein, denn:
Es können nicht alle Polynome auf andere abgebildet werden:
$\gamma(p)(x) = \bruch{p(x)-p(0)}{x}$
$\gamma(p)(x) = \bruch{p(x)}{x}-\bruch{p(0)}{x}$
$\gamma(p)(x) = \bruch{a_0+a_1\cdot{}x^1+\ldots+a_n\cdot{}x^n}{x}-\bruch{p(0)}{x}$
$\gamma(p)(x) = \bruch{a_0+a_1\cdot{}x^1+\ldots+a_n\cdot{}x^n}{x}-\bruch{a_0}{x}$
$\gamma(p)(x) = \bruch{a_0}{x}+\bruch{a_1*x^1}{x}+\bruch{a_2*x^2}{x} +\ldots+\bruch{a_n*x^n}{x}-\bruch{a_0}{x}$
$\gamma(p)(x) = \bruch{a_0}{x}+a_1+a_2*x}+\ldots+a_n*x^{n-1}-\bruch{a_0}{x}$
$\gamma(p)(x) = a_1+a_2*x}+\ldots+a_n*x^{n-1}$
$\gamma(p)(x) = \summe_{i=0}^{n-1}(a_{i+1}*x^i)$
$\Rightarrow$ Man kann nur Polynome bis zum Grad $n-1$ abbilden.
Will man ein Urbild $n$-ten Grades auf ein Bild $n$-ten Grades abbilden, geht das schief. $\Box$
Ist mein Gedankengang so korrekt?
Vielen Dank für eure Hilfe schon mal im Voraus!!
Viele Grüße,
- djd92l
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 So 11.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Injektiv: Ja, denn:
> Sei [mm]p, p' \in V[/mm] und [mm]p \not= p'[/mm].
> Dann folgt aus [mm]p \not= p' \Rightarrow \bruch{p(x)-p(0)}{x} \not= \bruch{p'(x)-p'(0)}{x}[/mm],
Nein, das ist falsch. Wo gehen denn die konstanten Polynome hin?
> [mm]\Rightarrow[/mm] Man kann nur Polynome bis zum Grad [mm]n-1[/mm]
> abbilden.
Ja.
SEcki
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 11.01.2009 | | Autor: | djd92l |
> > Injektiv: Ja, denn:
> > Sei [mm]p, p' \in V[/mm] und [mm]p \not= p'[/mm].
> > Dann folgt aus [mm]p \not= p' \Rightarrow \bruch{p(x)-p(0)}{x} \not= \bruch{p'(x)-p'(0)}{x}[/mm],
>
> Nein, das ist falsch. Wo gehen denn die konstanten Polynome
> hin?
Hmm.. nach längerer Überlegung bin ich mir nicht sicher, warum das falsch ist.
Die konstanten Polynome werden doch auch abgebildet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 So 11.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Die konstanten Polynome werden doch auch abgebildet.
Ja sicher - aber wohin denn? Was ist das Bild von einem beliebigen konstanten Polynom?
SEcki
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