Abbildung Potenzmengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 So 02.01.2011 | | Autor: | Gabbabin |
| Aufgabe | Sei f A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung. Definiere [mm] F_{1} [/mm] und [mm] F_{2} [/mm] durch
[mm] F_{1} [/mm] : Pot(A) [mm] \to [/mm] Pot(B), S [mm] \mapsto [/mm] f(S) und
[mm] F_{2} [/mm] : Pot(B) [mm] \to [/mm] Pot(A), T [mm] \mapsto f^{-1} [/mm] (T).
Beweisen Sie die folgenden Äquivalenzen beziehungsweise Implikationen:
(a) f ist injektiv [mm] \gdw F_{1} [/mm] ist injektiv [mm] \gdw F_2 [/mm] ist surjektiv.
(b) f ist surjektiv [mm] \gdw F_{1} [/mm] ist surjektiv [mm] \gdw F_{2} [/mm] ist injektiv.
(c) f ist bijektiv [mm] \to F_{1} [/mm] und [mm] F_{2} [/mm] sind bijektiv und es gilt [mm] F_{1}^{-1} [/mm] = [mm] F_{2} [/mm] |
Eine Potenzmenge ist ja die Menge aller Telmengen einer Grundmenge.
Könnte man nicht auch einfach [mm] F_{1} [/mm] : A [mm] \to [/mm] B sagen und das gleich für [mm] F_{2}?
[/mm]
Aber was ist hier überhaupt die Grundmenge, irgendwie verstehe ich die Aufgabenstellung nicht.
Ich hoffe ihr habt gute Ideen und könnt mir weiter helfen.
Danke im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Gabbabin,
> Eine Potenzmenge ist ja die Menge aller Telmengen einer
> Grundmenge.
Genau.
> Könnte man nicht auch einfach [mm]F_{1}[/mm] : A [mm]\to[/mm] B sagen und das gleich für [mm]F_{2}?[/mm]
Nein. [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] bilden doch jeweils Teilmengen von A und B aufeinander ab! Und Teilmengen von A bzw B sind eben gerade Elemente von [mm] $\mathcal{P}(A)$ [/mm] bzw [mm] $\mathcal{P}(B)$
[/mm]
> Aber was ist hier überhaupt die Grundmenge, irgendwie
> verstehe ich die Aufgabenstellung nicht.
Die Grundmengen sind A bzw B.
Ok, machen wir mal ein Beispiel:
$f: [mm] \IZ \to \IN, [/mm] n [mm] \mapsto n^2$
[/mm]
D.h.
$-2 [mm] \mapsto [/mm] 4$
$-1 [mm] \mapsto [/mm] 1$
[mm] $\pm [/mm] 0 [mm] \mapsto [/mm] 0$
$+1 [mm] \mapsto [/mm] 1$
$+2 [mm] \mapsto [/mm] 4$
und so weiter.
Nun betrachten wir mal:
[mm] $F_1: \mathcal{P}(\IZ) \to \mathcal{P}(\IN), [/mm] S [mm] \mapsto [/mm] f(S)$
Wir nehmen uns also ein Element der Potenzmenge von [mm] \IZ, [/mm] beispielsweise $S = [mm] \{-5,1,2,5,8\}$
[/mm]
Dann ist [mm] $F_1(S) [/mm] = f(S) = [mm] f(\{-5,1,2,5,8\}) [/mm] = [mm] \{1,4,25,64\} \in \matcal{P}(\IN)$
[/mm]
Klar?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 02.01.2011 | | Autor: | Gabbabin |
Wie genau kommst du am Ende auf [mm] F_{1}(S) [/mm] und bei meiner Aufgabe ist ja kein komkretes S angegeben. Wie müsste ich das dann formulieren?
Den Rest habe ich verstanden.
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Huhu,
[mm] $F_1(S) [/mm] $ ist doch genau so definiert.
Das von mir gewählte S war EIN Element der Potenzmenge, um dir die Abbildung zu verdeutlichen.
Natürlich ist kein konkretes S angegeben, brauchst du ja aber auch nicht.
MFG,
Gono.
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