Abbildung + Kern + Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfen Sie, ob es eine lineare Abbildung [mm] f:\IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] mit den geforderten Vorgaben geben kann. Wenn ja, konstruieren Sie diese, indem Sie f [mm] ((x_1,x_2)) [/mm] für beliebige [mm] (x_1,x_2) \in \IR^2 [/mm] angeben. Berechnen Sie auch den Kern und Bild von diesem f.
(a) f((1,3)) = (0,0), f((2,1)) = (0,0), f((4,7)) = (0,1)
(b) f((1,3)) = (4,6), f ((2,1)) =(3,2), f((4,7)) = (11,14)
(c) f((1,3)) = (2,1), f((2,1)) = (6,3), f((4,7)) = (10,5)
(d) f((1,3)) = (2,1), f((2,1)) = (6,3), f((4,7)) = (1,1) |
Hallo,
das besondere an einer lineare Abbildung ist ja das sie homogen und additiv ist, also (a) ist schon mal keine.
(0,0) = 2 (0,0) + (0,0) = 2 f((1,3)) + f((2,1)) = f(2(1,3) + f((2,1)) = f ((2,6)) + f ((2,1)) = f((4,7)) [mm] \ne [/mm] (0.1) Widerspruch
Bild = [mm] \{(0,0),(0,1)\}
[/mm]
Kern = [mm] \{(1,3),(2,1)\}
[/mm]
Hierzu ne kurze Frage: Meint ihr ich soll hier auch bild und kern angeben, obwohl es keine lineare Abbildung ist? Und noch wichtiger ist (0,0) immer der Nullvektor, oder kann das auch ein anderer sein? Auf den wird ja der Kern abgebildet.
so (b) ist wohl eine lineare Abbildung.
(11,14) = 2(4,6) + (3,2) = 2f((1,3)) + f((2,1)) = f((2,6)) + f ((2,1)) = f((4,7)) = (11,14)
Kern ist glaub ich (0,0).
Aber wie kann ich jetzt eine allgemeingültige Abbildung formulieren? [mm] x_2 [/mm] wird glaub ich auf [mm] 2x_2 [/mm] abgebildet, aber [mm] x_1? [/mm] Das versteh ich nicht ganz wie man da ne allgemeingültige Form hinkriegt.
Gruß
almightybald
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> Prüfen Sie, ob es eine lineare Abbildung [mm]f:\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm]
> mit den geforderten Vorgaben geben kann. Wenn ja,
> konstruieren Sie diese, indem Sie f [mm]((x_1,x_2))[/mm] für
> beliebige [mm](x_1,x_2) \in \IR^2[/mm] angeben. Berechnen Sie auch
> den Kern und Bild von diesem f.
>
> (a) f((1,3)) = (0,0), f((2,1)) = (0,0), f((4,7)) = (0,1)
> (b) f((1,3)) = (4,6), f ((2,1)) =(3,2), f((4,7)) =
> (11,14)
> (c) f((1,3)) = (2,1), f((2,1)) = (6,3), f((4,7)) = (10,5)
> (d) f((1,3)) = (2,1), f((2,1)) = (6,3), f((4,7)) = (1,1)
> Hallo,
>
> das besondere an einer lineare Abbildung ist ja das sie
> homogen und additiv ist, also (a) ist schon mal keine.
>
> (0,0) = 2 (0,0) + (0,0) = 2 f((1,3)) + f((2,1)) = f(2(1,3)
> + f((2,1)) = f ((2,6)) + f ((2,1)) = f((4,7)) [mm]\ne[/mm] (0.1)
> Widerspruch
Hallo,
genau.
>
> Bild = [mm]\{(0,0),(0,1)\}[/mm]
> Kern = [mm]\{(1,3),(2,1)\}[/mm]
>
> Hierzu ne kurze Frage: Meint ihr ich soll hier auch bild
> und kern angeben, obwohl es keine lineare Abbildung ist?
Nein. Man kann das doch gar nicht, denn über f weiß man nichts anderes, als daß es keine lineare Abbildung mit dieser Eigenschaft gibt.
> Und noch wichtiger ist (0,0) immer der Nullvektor, oder
> kann das auch ein anderer sein? Auf den wird ja der Kern
> abgebildet.
??? Der Kern enthält all das, was auf die Null im Zielraum abgebildet wird. Im [mm] \IR^2 [/mm] ist das der Vektor [mm] \vektor{0\\0}, [/mm] im Polynomraum das Nullpolynom.
>
> so (b) ist wohl eine lineare Abbildung.
Ja, es gibt eine lineare Abbildung, bei der die Funktionswerte sind, wie oben angegeben.
>
> (11,14) = 2(4,6) + (3,2) = 2f((1,3)) + f((2,1)) = f((2,6))
> + f ((2,1)) = f((4,7)) = (11,14)
>
> Kern ist glaub ich (0,0).
Stimmt, aber wie Du's bekommen hast, weiß ich nicht.
>
> Aber wie kann ich jetzt eine allgemeingültige Abbildung
> formulieren? [mm]x_2[/mm] wird glaub ich auf [mm]2x_2[/mm] abgebildet, aber
> [mm]x_1?[/mm] Das versteh ich nicht ganz wie man da ne
> allgemeingültige Form hinkriegt.
Schreibe [mm] \vektor{x_1\\x_2} [/mm] also Linearkombination von [mm] \vektor{1\\3} [/mm] und [mm] \vektor{2\\1}, [/mm] und verwende dann die Linearität von f.
Gruß v. Angela
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