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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 So 16.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zum Bild $ Im(f) $ einer Abbildung $f$.
Also das sind doch alle Punkte des Wertebereiches $N$ (bei $ f:M [mm] \to [/mm] N $ ), die Ziel der Abbildung $f$ sind, oder?
Also $ Im(f) [mm] \subset [/mm] N $, richtig?
Nun hab ich hier ein Beispiel:
$ f: [mm] \IR \to \IR [/mm] $, $ x [mm] \mapsto x^3-x [/mm] $
Hier wird nun das Bild angegeben als $ Im(f) = [mm] \IR [/mm] $.
Wie komme ich darauf?
Woher weiß ich, dass die Funktionswerte $ f(x) $ (um die geht es doch, oder?) alle Werte aus [mm] \IR [/mm] annehmen?
Das Argument dafür war in dem Beispiel, dass der Graph [mm] \Gamma_f [/mm] von $f$ Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] ist, aber das versteh ich irgendwie nicht.
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo zusammen!
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> Ich habe eine Frage zum Bild [mm]Im(f)[/mm] einer Abbildung [mm]f[/mm].
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> Also das sind doch alle Punkte des Wertebereiches [mm]N[/mm] (bei
> [mm]f:M \to N[/mm] ), die Ziel der Abbildung [mm]f[/mm] sind, oder?
>
> Also [mm]Im(f) \subset N [/mm], richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Nun hab ich hier ein Beispiel:
>
> [mm]f: \IR \to \IR [/mm], [mm]x \mapsto x^3-x[/mm]
>
> Hier wird nun das Bild angegeben als [mm]Im(f) = \IR [/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun, die Funktion ist als Polynom sicher stetig, betrachte mal [mm] $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)$ [/mm] ...
Was folgt dann mit dem Zwischenwertsatz für jedes geschlossene Intervall $[a,b]$?
>
> Wie komme ich darauf?
>
> Woher weiß ich, dass die Funktionswerte [mm]f(x)[/mm] (um die geht
> es doch, oder?) alle Werte aus [mm]\IR[/mm] annehmen?
s.o.
>
> Das Argument dafür war in dem Beispiel, dass der Graph
> [mm]\Gamma_f[/mm] von [mm]f[/mm] Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm] ist, aber das versteh
> ich irgendwie nicht.
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 16.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
> Nun, die Funktion ist als Polynom sicher stetig, betrachte
> mal [mm]\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)[/mm] ...
>
> Was folgt dann mit dem Zwischenwertsatz für jedes
> geschlossene Intervall [mm][a,b][/mm]?
Stetigkeit und Zwischenwertsatz hatten wir noch nicht.
Klingt auch irgendwie mehr nach Analysis.
Das hier stammt etwa aus der dritten LA1-Vorlesung.
Aber ich weiß aus der Schule, dass ein Polynom für [mm] x\to\infty [/mm] nach [mm] \pm\infty [/mm] geht und dass für $ x [mm] \to -\infty [/mm] $ das Polynom auch nach [mm] \pm\infty [/mm] geht.
Und wenn die Funktionswerte für alle $x$ von $ [mm] -\infty [/mm] $ nach $ [mm] +\infty [/mm] $ gehen, heißt dass dann, das zwischen $ [mm] -\infty [/mm] $ und $ [mm] +\infty [/mm] $ alle Funktionswerte angenommen werden (weil ich den Graphen durchzeichnen kann, das ist doch stetig, oder?)?
Und damit ist das Bild dann ganz [mm] \IR [/mm] ?
LG, Nadine
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus!
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> > Nun, die Funktion ist als Polynom sicher stetig, betrachte
> > mal [mm]\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)[/mm] ...
> >
> > Was folgt dann mit dem Zwischenwertsatz für jedes
> > geschlossene Intervall [mm][a,b][/mm]?
>
> Stetigkeit und Zwischenwertsatz hatten wir noch nicht.
> Klingt auch irgendwie mehr nach Analysis.
Das ist es auch 
Das kommt dann in den Ana1 - Grundlagen dran ...
> Das hier stammt etwa aus der dritten LA1-Vorlesung.
>
> Aber ich weiß aus der Schule, dass ein Polynom für
> [mm]x\to\infty[/mm] nach [mm]\pm\infty[/mm] geht und dass für [mm]x \to -\infty[/mm]
> das Polynom auch nach [mm]\pm\infty[/mm] geht.
Hier strebt $f(x)$ gegen [mm] $-\infty$ [/mm] für [mm] $x\to-\infty$ [/mm] und gegen [mm] $\infty$ [/mm] für [mm] $x\to\infty$
[/mm]
>
> Und wenn die Funktionswerte für alle [mm]x[/mm] von [mm]-\infty[/mm] nach
> [mm]+\infty[/mm] gehen, heißt dass dann, das zwischen [mm]-\infty[/mm] und
> [mm]+\infty[/mm] alle Funktionswerte angenommen werden (weil ich den
> Graphen durchzeichnen kann, das ist doch stetig, oder?)?
Genau! Dass alle Funktionswerte "zwischen" [mm] $-\infty$ [/mm] und [mm] $\infty$ [/mm] angenommen werden, garantiert dir die Stetigkeit von f
>
> Und damit ist das Bild dann ganz [mm]\IR[/mm] ?
So isses
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Di 18.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
Vielen Dank für deine Hilfe.
LG, Nadine
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