Abbildung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei die Gerade g1: x + 2y = 2 im [mm] \IR2 [/mm] . Wie lautet die Gleichung der Geraden
g2 (in Koordinatenform!), die sich ergibt, wenn g1 um den Punkt PD=(2;3) mit dem
Winkel a=60° im Gegenuhrzeigersinn gedreht und anschließend an der y-Achse
gespiegelt wird (stellen Sie zunächst die Transformationsmatrix auf!)? |
Moin.
Ich habe so meine Probleme mit der Aufgabe, muss sagen ich habe eine idee das zu lösen, jedoch haperts da auch an der unsetzung.
man könnte ja 2 Punkte frei wählen. Transformieren (beide um 60° drehen und an Y Spiegeln) und dann die daraus resultierenden Vektoren subtrahieren um neue Gerade zu bestimmen? Dann hab ich ja ein x und kann somit y = ax+b bestimmen. ist das soweit richtig?
aber mein dozent hatte auch nen ansatz mit der Transoformationsmatrix den ich nichtvollziehen kann:
Die Transformationsmatrix berechnet sich wie folgt:
(-1 0 0) (1 0 2) (cos 60 -sin60 0) (1 0 -2)
( 0 1 0) x (0 1 3) x (sin 60 cos 60 0) x (0 1 -3)
( 0 0 1) (0 0 1) (0 0 1) (0 0 1)
Ergebnis mit dem Vektor (2 0 1) multiplizieren -> (-4,6 1,5 1)
Neuen Normalenvektor nicht mit der Transformationsmatrix berechnen, weil der ja nicht verschoben werden muss, sondern so:
(-1 0 0) (cos 60 -sin60 0) (1) (1,23)
( 0 1 0) x (sin 60 cos 60 0) x (2) = (1,87)
( 0 0 1) (0 0 1) (1) (1 )
Damit hat man den Normalenvektor der neuen Gerade und einen Punkt, Gleichung aufstellen und umformen, dann kommt das richtige raus.
Vielen Dank schonmal!
MfG
|
|
| |
|
> Gegeben sei die Gerade g1: x + 2y = 2 im [mm]\IR2[/mm] . Wie lautet
> die Gleichung der Geraden g2 (in Koordinatenform!), die
> sich ergibt, wenn g1 um den Punkt PD=(2;3) mit dem
> Winkel a=60° im Gegenuhrzeigersinn gedreht und
> anschließend an der y-Achse gespiegelt wird (stellen Sie
> zunächst die Transformationsmatrix auf!)?
> man könnte ja 2 Punkte frei wählen. Transformieren (beide
> um 60° drehen und an Y Spiegeln) und dann die daraus
> resultierenden Vektoren subtrahieren um neue Gerade zu
> bestimmen? Dann hab ich ja ein x und kann somit y = ax+b
> bestimmen. ist das soweit richtig?
letzter Schritt (Aufstellen der neuen Geradengleichung)
nicht ganz klar, aber du weisst wohl, was du meinst...
> aber mein dozent hatte auch nen ansatz mit der
> Transformationsmatrix den ich nichtvollziehen kann:
>
> Die Transformationsmatrix berechnet sich wie folgt:
>
> (-1 0 0) (1 0 2) (cos 60 -sin60 0) (1 0 -2)
> ( 0 1 0) x (0 1 3) x (sin 60 cos 60 0) x (0 1 -3)
> ( 0 0 1) (0 0 1) (0 0 1) (0 0 1)
Das ist so zu verstehen: Man betrachtet die Transformation
als eine Serie (Kette) von Abbildungen:
1.) V: Parallelverschiebung, welche PD(2/3) in O(0/0) überführt
2.) D: Drehung um O mit dem Drehwinkel 60°
3.) [mm] V^{-1}: [/mm] Parallelverschiebung V rückgängig machen
4.) S: Spiegelung an der y-Achse
Die Abbildungen werden in dieser Reihenfolge ausgeführt.
Für die resultierende Transformation T gilt dann:
[mm] T=S\circ V^{-1}\circ{D}\circ{V}
[/mm]
In Matrixschreibweise ergibt sich dann das angegebene
Produkt von Matrizen. Es handelt sich nicht um 2x2-Matrizen,
sondern um 3x3-Matrizen, denn es werden homogene
Koordinaten benützt, um auch die Translationen in
Matrixform darstellen zu können.
(im Detail müsste ich mir das Ganze noch genauer ansehen)
LG
|
|
|
| |
|
Erstmal vielen Dank!
Das was du da geschrieben hast macht Sinn und das mit der Transformationsmatrix aufstellen verstehe ich auch! Jedoch ist mir ehrlich gesagt die Aufgabe an sich immer noch ein Rätsel! Wenn ich jetzt so wie es da steht die Matrix aufgestellt habe (was ja quasi der erste Teil der Aufgabe war), indem ich die einzelnen "Teil-Matrizen" multipliziere ergibt sich bei mir:
[mm] \pmat{ -0,5 & \bruch{\wurzel{3}}{2} & 4 \\ \bruch{\wurzel{3}}{2} & 0,5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Aber was muss ich jetzt weiter machen? Wie bekomme ich denn jetzt die geforderte Geradengleichung in Koordinatenform? Ich steh total auf dem schlauch muss ich gestehen!
Würde mich über Hilfe echt freuen!
Grüße
DerdersichSichnennt
|
|
|
| |
|
> Erstmal vielen Dank!
>
> Das was du da geschrieben hast macht Sinn und das mit der
> Transformationsmatrix aufstellen verstehe ich auch! Jedoch
> ist mir ehrlich gesagt die Aufgabe an sich immer noch ein
> Rätsel! Wenn ich jetzt so wie es da steht die Matrix
> aufgestellt habe (was ja quasi der erste Teil der Aufgabe
> war), indem ich die einzelnen "Teil-Matrizen" multipliziere
> ergibt sich bei mir:
>
> [mm]\pmat{ -0,5 & \bruch{\wurzel{3}}{2} & 4 \\ \bruch{\wurzel{3}}{2} & 0,5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
die Werte in der dritten Spalte stimmen nicht !
>
> Aber was muss ich jetzt weiter machen? Wie bekomme ich denn
> jetzt die geforderte Geradengleichung in Koordinatenform?
> Grüße
>
> DerdersichSichnennt
Hallo Sich !
Es geht darum, einen Punkt von [mm] g_1 [/mm] der Abbildung T
zu unterwerfen und einen Normalenvektor von [mm] g_1 [/mm] zu drehen
und zu spiegeln.
Als Punkt auf [mm] g_1 [/mm] kann man z.B. den Punkt [mm] P_1(2/0) [/mm] nehmen
(Schnittpunkt mit 1.Achse). In homogenen Koordinaten ist
[mm] P_1(2/0/1). [/mm] Sein Bildpunkt ist dann:
[mm] T*P_1^T=[/mm] [mm]\pmat{ -0,5 & \bruch{\wurzel{3}}{2} & -3.598 \\ \bruch{\wurzel{3}}{2} & 0,5 & -0.232 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm][mm] *\vektor{2\\0\\1}
[/mm]
[mm] \approx\[/mm] [mm]\pmat{ -0.5 & 0.866 & -3.598 \\ 0.866 & 0.5 & -0.232 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm][mm] *\vektor{2\\0\\1}=\vektor{-4.598\\1.5\\1}
[/mm]
In "gewöhnlichen" Koordinaten ist also [mm] T(P_1)=(-4.598/1.5)
[/mm]
Der Normalenvektor [mm]\ \vec{n}=\vektor{1\\2}[/mm] muss nur der Drehung
mit der Drehmatrix
D=[mm]\red{\pmat{ -0,5 & \bruch{\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{\wurzel{3}}{2} & 0,5}}[/mm]
das müsste richtig heissen:
D=[mm]\pmat{ 0,5 & -\bruch{\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{\wurzel{3}}{2} & 0,5}[/mm]
und der nachfolgenden Spiegelung
S=[mm]\pmat{ -1& 1 \\ 0 & 1}[/mm]
unterworfen werden:
[mm]\ S*D*\vec{n}=[/mm] .....
Am Schluss die neue Geradengleichung aufstellen.
Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Nochmals vielen Dank für deine Mühe! Konnte nicht eher antwortet musste für eine Klausur lernen...
Das klingt alles recht sinnig und ich verstehe das auch, jedoch ist mir aufgefallen, dass du als "formel" für die Drehmatrix [mm] \pmat{ -cos \alpha & sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha } [/mm] genommen hast. In meinen Unterlagen steht jedoch für die Rotationim 2D-Raum [mm] \pmat{ cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha } [/mm] ?!
Beides macht jedoch keinen Unterschied, ich komme nich auf das gewünschte Ergebnis meines Profs oder mache ich wieder etwas falsch?
Ich rechne [mm] S*D*\vec{n} [/mm] => [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ - 0,5 & sin(60) \\ sin(60) & 0,5 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{ 0,6229 \\ 1,866}
[/mm]
Für die Koordinatengleich soll, laut meines Dozentens jedoch, y = -0,66x 1,54 , heraus kommen?
Wäre über weitere Hilfe sehr Dankbar!!
MfG
Sich
|
|
|
| |
|
> Das klingt alles recht sinnig und ich verstehe das auch,
> jedoch ist mir aufgefallen, dass du als "formel" für die
> Drehmatrix [mm]\pmat{ -cos \alpha & sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha }[/mm]
> genommen hast.
Sorry, das war ein Fehler.
Ich habe die 2x2-Untermatrix aus einer der früheren
3x3-Matrizen entnommen - leider aus der falschen !
LG
|
|
|
| |
|
Aber wenn ich das jetzt so eingebe wie du es mir nun bestätigt hast, kommt trotzdem nicht das richtige ergebnis, sodern:
[mm] \vec{n_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{ 3,098 \\ 1,866}
[/mm]
wenn ich das nun in die Koordinatenform bringe:
naja bin ich mir gar nicht so sicher wie das geht...
Ist damit das gemeint? y = [mm] -\bruch{b}{a}x [/mm] + b ?
Und wenn ja ist dann mit b der untere und mit a der obere Wert gemeint?
Denn dann würde rauskommen: y = -0,602x + 1,866
Zur Erinnerung: Ergebnis soll lauten: y = -0,66x 1,54
Was mach ich Falsch?!
MfG Sich
|
|
|
| |
|
> Was mach ich falsch?
ich weiss es nicht genau...
Berechnung des neuen Normalenvektors:
[m]\ \vec{n}_2=S*D*\vec{n}_1=\pmat{-1 & 0\\0 & 1}*\pmat{0.5 & 0.866\\0.866 &0.5}*\vektor{1\\2}=\vektor{1.232\\1.866}[/m]
Aufstellen der Koordinatengleichung der Bildgeraden:
[mm] g_2:[/mm] [m]\ \vec{n}_2*(\vec{P}-\vec{P}_0)=0[/m] mit [m]\ \vec{P}=\vektor{x\\y}[/m] und [m]\ \vec{P}_0=\vektor{-4.598\\1.5}[/m]
[mm] g_2:[/mm] [m]\ 1.232*(x+4.598)+1.866*(y-1.5)=0[/m]
Dies führt auf deine Lösung laut Skript.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für Deine Hilfe!
Jetzt habe ich auch endlich das richtige raus. lag daran, da ich ich die spiegelungsmatrix genommen hatte die du zuerst gepostet hattest.. da hast du dich aber ja vertippt, ist mir auch erst eben aufgefallen.
Nochmals Danke und LG
Sich
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Do 21.08.2008 | | Autor: | weduwe |
> Vielen Dank für Deine Hilfe!
> Jetzt habe ich auch endlich das richtige raus. lag daran,
> da ich ich die spiegelungsmatrix genommen hatte die du
> zuerst gepostet hattest.. da hast du dich aber ja vertippt,
> ist mir auch erst eben aufgefallen.
>
> Nochmals Danke und LG
>
> Sich
eben,
siehe meinen beitrag oben
was man allerdings - neben der tollen hilfe von Al-Chwarizmi - auch selber sehen sollte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Do 21.08.2008 | | Autor: | weduwe |
> Nochmals vielen Dank für deine Mühe! Konnte nicht eher
> antwortet musste für eine Klausur lernen...
>
> Das klingt alles recht sinnig und ich verstehe das auch,
> jedoch ist mir aufgefallen, dass du als "formel" für die
> Drehmatrix [mm]\pmat{ -cos \alpha & sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha }[/mm]
> genommen hast. In meinen Unterlagen steht jedoch für die
> Rotationim 2D-Raum [mm]\pmat{ cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha }[/mm]
> ?!
>
> Beides macht jedoch keinen Unterschied, ich komme nich auf
> das gewünschte Ergebnis meines Profs oder mache ich wieder
> etwas falsch?
>
> Ich rechne [mm]S*D*\vec{n}[/mm] => [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] *
> [mm]\pmat{ - 0,5 & sin(60) \\ sin(60) & 0,5 }[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> = [mm]\vektor{ 0,6229 \\ 1,866}[/mm]
>
> Für die Koordinatengleich soll, laut meines Dozentens
> jedoch, y = -0,66x 1,54 , heraus kommen?
>
> Wäre über weitere Hilfe sehr Dankbar!!
>
> MfG
>
> Sich
ich bin da ziemlich ahnungslos, aber
[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0& 1}\cdot\pmat{ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} }\cdot\vektor{1 \\ 2}=\vektor{0.663\\1}
[/mm]
wäre das eine möglichkeit?
|
|
|
| |
|
jetzt haben wir gerade aneinander vorbei geschrieben...
siehe meine andere Meldung !
|
|
|
|
