Abbil. Permut. -> komm. Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] n\in\IN. [/mm] Sei (G, [mm] \cdot) [/mm] eine abelsche Gruppe und [mm] s:S_n \rightarrow [/mm] G
eine surjektive Abbildung mit der Eigenschaft: [mm] \forall\alpha,\beta\in S_n: s(\alpha\beta) [/mm] = [mm] s(\alpha)\cdot s(\beta).
[/mm]
Man zeige: |G| [mm] \le [/mm] 2. |
Hallo liebes Forum,
ich komme bei o.g. Aufgabe absolut nicht voran :-(
Es seien also n sowie [mm] (G,\cdot) [/mm] und die Funktion s wie in der Aufgabenstellung gegeben.
Wegen der Surjektivität von s existiert dann für jedes [mm] x\in [/mm] G ein [mm] \alpha\in S_n [/mm] mit [mm] s(\alpha) [/mm] = x.
Mein Versuch, einen Widerspruchsbeweis zu führen, sieht wie folgt aus:
Annahme: |G| > 2.
Dann existieren 3 paarweise verschiedene Elemente in G, also [mm] x,y,z\in [/mm] G pw verschieden.
Und es existieren wegen der Surjektivität von s Permutationen [mm] \alpha, \beta, \gamma\in S_n [/mm] mit [mm] s(\alpha) [/mm] = x, [mm] s(\beta) [/mm] = y und [mm] s(\gamma) [/mm] = z.
Wegen der vorausgesetzten Homomorphie-Eigenschaft von s gilt [mm] s(\alpha\beta\gamma) [/mm] = [mm] s(\alpha)\cdot s(\beta)\cdot s(\gamma)
[/mm]
So, und nun fehlt mir die Idee, was man wie zum Widerspruch führen kann :-(
Kann mir jemand bei diesem Beweis helfen?
|
|
| |
|
> Sei [mm]n\in\IN.[/mm] Sei (G, [mm]\cdot)[/mm] eine abelsche Gruppe und [mm]s:S_n \rightarrow[/mm]
> G
> eine surjektive Abbildung mit der Eigenschaft:
> [mm]\forall\alpha,\beta\in S_n: s(\alpha\beta)[/mm] = [mm]s(\alpha)\cdot s(\beta).[/mm]
>
> Man zeige: |G| [mm]\le[/mm] 2.
Hallo,
entscheidend dürfte hier die Kommutativität sein, denn [mm] S_n [/mm] ist ja für n>2 nicht kommutativ, G jedoch als kommutativ vorausgesetzt.
Vielleicht kommst Du hiermit schon weiter.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
erstmal vielen lieben Dank für die Antwort!
Das mit der Kommutativität von G hatte ich mir auch überlegt, aber ich bekomme es nicht hin. Klar ist jedenfalls der Fall, wenn n [mm] \le [/mm] 2 ist.
Mein jetziger Beweisansatz ist ohne Widerspruch. Er ist relativ einfach, aber die Schlußidee fehlt mir leider:
Beweis: Seien also n, [mm] (G,\cdot) [/mm] und s wie in der Aufgabenstellung.
Falls n [mm] \le [/mm] 2, gilt [mm] |S_n| [/mm] = n! [mm] \le [/mm] 2! = 2.
Da [mm] S_n [/mm] = Def s, folgt |Def [mm] s|\le [/mm] 2.
Ferner folgt mit der Surjektivität von s: |G| = |Bild s| [mm] \le [/mm] |Def s| [mm] \le [/mm] 2.
Falls n [mm] \ge [/mm] 3, waehle [mm] x,y,z\in [/mm] G.
Zu zeigen ist, daß x=y oder x=z oder y=z (es gibt also nicht drei paarweise verschiedene Elemente in G)
Da s surjektiv ist, existieren [mm] \alpha, \beta, \gamma\in S_n [/mm] mit [mm] s(\alpha) [/mm] = x, [mm] s(\beta) [/mm] = y und [mm] s(\gamma) [/mm] = z.
Falls [mm] \alpha=\beta, [/mm] gilt x = [mm] s(\alpha) [/mm] = [mm] s(\beta) [/mm] = y, und die Behauptung folgt.
Analog folgert man für [mm] \alpha=\gamma [/mm] und [mm] \beta=\gamma.
[/mm]
Wir betrachten also den Fall, daß [mm] \alpha, \beta, \gamma [/mm] paarweise verschieden sind:
Es gilt [mm] s(\alpha\beta) [/mm] = [mm] s(\alpha)\cdot s(\beta) [/mm] = [mm] s(\beta)\cdot s(\alpha) [/mm] = [mm] s(\beta\alpha).
[/mm]
Genauso erhält man [mm] s(\alpha\gamma) [/mm] = [mm] s(\gamma\alpha) [/mm] und [mm] s(\beta\gamma) [/mm] = [mm] s(\gamma\beta).
[/mm]
Nun fehlt mir aber die Idee, um im letzten Fall zu zeigen, daß x=y oder x=z oder y=z folgt.
Hat jemand eine zündende Idee?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Sa 27.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Das mit der Kommutativität von G hatte ich mir auch
> überlegt, aber ich bekomme es nicht hin. Klar ist
> jedenfalls der Fall, wenn n [mm]\le[/mm] 2 ist.
>
> Mein jetziger Beweisansatz ist ohne Widerspruch. Er ist
> relativ einfach, aber die Schlußidee fehlt mir leider:
>
> Beweis: Seien also n, [mm](G,\cdot)[/mm] und s wie in der
> Aufgabenstellung.
> Falls n [mm]\le[/mm] 2, gilt [mm]|S_n|[/mm] = n! [mm]\le[/mm] 2! = 2.
> Da [mm]S_n[/mm] = Def s, folgt |Def [mm]s|\le[/mm] 2.
> Ferner folgt mit der Surjektivität von s: |G| = |Bild s|
> [mm]\le[/mm] |Def s| [mm]\le[/mm] 2.
Soweit so gut.
> Falls n [mm]\ge[/mm] 3, waehle [mm]x,y,z\in[/mm] G.
> Zu zeigen ist, daß x=y oder x=z oder y=z (es gibt also
> nicht drei paarweise verschiedene Elemente in G)
Ob das so vielversprechend ist?
Versuch's doch mal anders.
Und zwar weisst du ja nach dem Homomorphiesatz, dass $G [mm] \cong S_n [/mm] / [mm] \ker [/mm] s$ ist. Du musst also zeigen, dass [mm] $\ker [/mm] s$ gross genug ist, also [mm] $[S_n [/mm] : [mm] \ker [/mm] s] [mm] \le [/mm] 2$ ist.
Nun ist [mm] $\ker [/mm] s$ ein Normalteiler in [mm] $S_n$. [/mm] Kennst du irgendwelche Normalteiler in [mm] $S_n$? [/mm] Schreib mal alle auf die du kennst.
So, zurueck zur Aufgabe. Fuer $x, y [mm] \in S_n$ [/mm] schau dir mal das Element $z := x y [mm] x^{-1} y^{-1}$ [/mm] an. Liegt dies in [mm] $\ker [/mm] s$? Oder nicht?
Hast du eine Idee, was die von diesen Elementen $z$ erzeugte Untergruppe von [mm] $S_n$ [/mm] sein koennte?
LG Felix
|
|
|
|
