Abb. eigentlich gdw. keine H.P < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:02 Sa 14.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Seien X,Y lokal kompakte topologische Räume mit abzählbarer Topologie; sei weiter [mm] f:X\rightarrow [/mm] Y stetig. Zeigen Sie, dass f eigentlich
genau dann, wenn für jede Folge [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] ohne H.P. in X auch die Bildfolge [mm] (f(x_n))_{n\in \IN} [/mm] ohne H.P. in Y ist. |
Tag Leute,
also zunächst die Hinrichtung mit Widerspruchsbeweis.
Sei [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] eine beliebige Folge ohne H.P. in X und [mm] (f(x_n))_{n\in \IN} [/mm] die zugehörige Bildfolge in Y.
Angenommen [mm] (f(x_n))_{n\in \IN} [/mm] besitzt mindestens einen H.P. in Y. Dann existiert ein [mm] f(x_n) [/mm] mit einem [mm] n\in \IN, [/mm] sodass für jede Umgebung U von diesem [mm] f(x_n) [/mm] unendlich viele Bildfolgenglieder in U liegen, d.h. es gibt ein [mm] M\subset \IN [/mm] mit [mm] |M|=\infty, [/mm] sodass [mm] f(x_m)\in [/mm] U für alle [mm] m\in [/mm] M. Da f stetig, ist [mm] f^{-1}(U) [/mm] auch Umgebung in X mit [mm] x_n=f^{-1}(f(x_n))\in f^{-1}(U) [/mm] sowie [mm] x_m=f^{-1}(f(x_m))\in f^{-1}(U). [/mm] Somit liegen in der Umgebung [mm] f^{-1}(U) [/mm] von [mm] x_n [/mm] unendlich viele Folgenglieder [mm] x_m, [/mm] wodurch die Folge [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] einen H.P. in X hat. Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Also hat auch die Bildfolge [mm] (f(x_n))_{n\in \IN} [/mm] keinen H.P. in Y.
Ist das richtig so wie ich mir das gedacht hab? Bin für Korrekturen dankbar.
So und nun noch die Rückrichtung. Da fehlt mir bisher noch die richtige Idee. Kann da jemand einen Tipp geben wie ich das hinkrieg?? Vielen Dank.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:00 Sa 14.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ich hab mir nochmal Gedanken zur Rückrichtung gemacht und jetz mal folgendes aufgeschrieben:
Sei [mm] y\in [/mm] Y, [mm] B_X [/mm] eine Basis von X. Dann gibt es aufgrund der lokalen Kompaktheit von Y eine kompakte Umgebung [mm] S\subset [/mm] Y von y. Da f stetig, ist auch [mm] f^{-1}(S) [/mm] offen in X. Mit [mm] B_X [/mm] abzählbar, können wir [mm] f^{-1}(S) [/mm] auch schreiben als [mm] f^{-1}(S)=\bigcup_{i\in I} B_i [/mm] mit [mm] B_i\in B_X. [/mm] Damit haben wir eine offene Überdeckung von [mm] f^{-1}(S) [/mm] gefunden.
Wie mach ich hier jetz weiter oder bin ich völlig auf dem Holzweg??
Wär toll wenn jemand helfen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 So 15.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Vielleicht wenigstens zum zweiten Teil ein Kommentar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 16.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 So 15.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Kann denn dazu niemand was sagen? Es wär echt klasse, wenn jemand den ein oder anderen Tipp parat hätte wie ich da weiterkomm.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 Mo 16.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Woran liegt es, dass niemand helfen kann? Ist mein Beweisversuch zu unübersichtlich oder ist die Aufgabenstellung unklar? Ich wär echt froh über einen Tipp und es wär klasse, wenn jemand an paar Worte dazu verlieren könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 16.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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