Abb. bestimmen ( Dachprodukt) < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Es sei [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] die Standardbasis des [mm] \mathbb R^3 [/mm] und [mm] \delta_1, \delta_2, \delta_3 \in Alt^1 ( \mathbb R^3) [/mm] die duale Basis, d.h. [mm] \delta_i : \methbb R^3 \to \mathbb R [/mm] ist eine lineare Abbildung, die bestimmt ist durch [mm] \delta_i (e_k) = \delta_{ik} [/mm].
Betrachten Sie die Isomorphismen
[mm] i_1: \mathbb R^3 \to Alt^1(\mathbb R^3), (a_1,a_2,a_3) \to a_1 \delta_1 [/mm] + [mm] a_2 \delta_2 [/mm] + [mm] a_3 \delta_3 [/mm]
[mm] i_2:\mathbb R^3 \to Alt^2(\mathbb R^3), (b_1,b_2,b_3) \to b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 [/mm] + [mm] b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 [/mm] + [mm] b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 [/mm]
[mm] i_3: \mathbb [/mm] R [mm] \to Alt^3(\mathbb R^3) [/mm] , c [mm] \to [/mm] c [mm] \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \delta_3. [/mm] [/mm]
Bestimmen Sie eine Abbildung [mm] P: \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \to \mathbb R [/mm] so dass folgendes gilt:
[mm] i_1 (a) \wedge i_2(b) = i_3 ( P(a,b) ) \forall a,b \in \mathbb R^3 [/mm]. |
Hallo alle zusammen!
Ich denke, dass diese Aufgabe vielleicht garnicht so schwer ist, obwohl sie so lang ausschaut..
Meine Idee ist die folgende:
Ich rechne erst [mm] i_1 (a) \wedge i_2(b) [/mm] aus und schau was das herauskommt und versuche dann die gesuchte Abbildung zu konstruieren , so dass dies Gleichung erfüllt wird.
Ich habe auch schon angefangen, doch bin irgendwie in der Rechnung steckengeblieben und könnte dabei Hilfe benötigen!
[mm] i_1 (a) \wedge i_2(b) = ( a_1 \delta_1 + a_2 \delta_2 + a_3 \delta_3 ) \wedge ( b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 ) = [/mm]
Da das Dachprodukt bilinear ist, ist
[mm] = a_1 \delta_1 \wedge (b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 ) + a_2 \delta_2 \wedge ( b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 ) + a_3 \delta_3 \wedge ( b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 ) =
( a_1 \delta_1 \wedge b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + a_1 \delta_1 \wedge b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + a_1 \delta_1 \wedge b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 )
+ ( a_2 \delta_2 \wedge b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + a_2 \delta_2
\wedge b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + a_2 \delta_2 \wedge b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 )
+ ( a_3 \delta_3 \wedge b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + a_3 \delta_3
\wedge b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + a_3 \delta_3 \wedge b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 ) = [/mm]
Und hier weiß ich nicht weiter... Ich bräuchte einen Tipp bitte!
PS: Sorry, dass die Zeile so lang ist, der Zeilenumbruch funktioniert irgendwie nicht :-(
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Mi 23.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Es sei [mm]e_1, e_2, e_3[/mm] die Standardbasis des [mm]\mathbb R^3[/mm] und [mm]\delta_1, \delta_2, \delta_3 \in Alt^1 ( \mathbb R^3)[/mm] die
> duale Basis, d.h. [mm]\delta_i : \methbb R^3 \to \mathbb R[/mm] ist
> eine lineare Abbildung, die bestimmt ist durch [mm]\delta_i (e_k) = \delta_{ik} [/mm].
>
> Betrachten Sie die Isomorphismen
> [mm]i_1: \mathbb R^3 \to Alt^1(\mathbb R^3), (a_1,a_2,a_3) \to a_1 \delta_1+ a_2 \delta_2[/mm] + [mm]a_3 \delta_3[/mm]
>
> [mm]i_2:\mathbb R^3 \to Alt^2(\mathbb R^3), (b_1,b_2,b_3) \to b_1 \delta_2 \wedge \delta_3+ b_2 \delta_3 \wedge \delta_1[/mm] + [mm]b_3 \delta_1 \wegde \delta_2[/mm]
>
> [mm]i_3: \mathbb[/mm] R [mm]\to Alt^3(\mathbb R^3)[/mm] , c [mm]\to[/mm] c [mm]\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \delta_3.[/mm]
> [/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Abbildung [mm]P: \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \to \mathbb R[/mm]
> so dass folgendes gilt:
>
> [mm]i_1 (a) \wedge i_2(b) = i_3 ( P(a,b) ) \forall a,b \in \mathbb R^3 [/mm].
>
> Hallo alle zusammen!
>
> Ich denke, dass diese Aufgabe vielleicht garnicht so schwer
> ist, obwohl sie so lang ausschaut..
> Meine Idee ist die folgende:
> Ich rechne erst [mm]i_1 (a) \wedge i_2(b)[/mm] aus und schau was
> das herauskommt und versuche dann die gesuchte Abbildung zu
> konstruieren , so dass dies Gleichung erfüllt wird.
> Ich habe auch schon angefangen, doch bin irgendwie in der
> Rechnung steckengeblieben und könnte dabei Hilfe
> benötigen!
>
> [mm]i_1 (a) \wedge i_2(b) = ( a_1 \delta_1 + a_2 \delta_2 + a_3 \delta_3 ) \wedge ( b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 ) =[/mm]
>
> Da das Dachprodukt bilinear ist, ist
>
> [mm]= a_1 \delta_1 \wedge (b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 ) + a_2 \delta_2 \wedge ( b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 ) + a_3 \delta_3 \wedge ( b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 ) =
( a_1 \delta_1 \wedge b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + a_1 \delta_1 \wedge b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + a_1 \delta_1 \wedge b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 )
+ ( a_2 \delta_2 \wedge b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + a_2 \delta_2
\wedge b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + a_2 \delta_2 \wedge b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 )
+ ( a_3 \delta_3 \wedge b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + a_3 \delta_3
\wedge b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + a_3 \delta_3 \wedge b_3 \delta_1 \wegde \delta_2 ) =[/mm]
>
> Und hier weiß ich nicht weiter... Ich bräuchte einen Tipp
> bitte!
An dieser Stelle nutzt du die Antisymmetrie und Assoziativität des Dachprodukts, zum Beispiel:
[mm] a_1 \delta_1 \wedge b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 = a_1 b_2 \delta_1 \wedge (-\delta_1 \wedge \delta_3) = -a_1 b_2 (\underbrace{\delta_1 \wedge \delta_1}_{0} )\wedge \delta_3 = 0[/mm].
Mit anderen Worten: kommt in einem mehrfachen Dachprodukt zweimal der gleiche Faktor vor, so ist das Produkt 0.
Daher bleiben nur die Terme mit [mm]\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \delta_3 [/mm] übrig.
> PS: Sorry, dass die Zeile so lang ist, der Zeilenumbruch
> funktioniert irgendwie nicht :-(
Da musst du die Formel in zwei Formeln zerlegen, damit der Zeilenumbruch klappt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Do 24.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Danke, als aller erstes!
Ich habe das nun ausgerechnet und ich komme zum folgendem Ergebnis:
...
[mm] a_1 \delta_1 \wedge b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + a_2 \delta_2 \wedge b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + a_3 \delta_3 \wedge b_3 \delta_1 \wedge \delta_2 [/mm]
[mm] = a_1 b_1 \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \delta_3 + a_2 b_2
\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \delta_3 + a_3 b_3 \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \delta_3 [/mm].
So, dass wäre jetzt mein Ergebnis! Richtig?
Kann man das noch kompremierter schreiben?
So, wenn ich das jetzt richtig sehe, ist meine gesuchte Abbildung
[mm] P: \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \to \mathbb R [/mm]
einfach die Abbildung, die je zwei Vektoren [mm] a,b \in \mathbb R^3 [/mm] ihr Skalatprodukt zuordent. Kann das stimmen?
Also: Sei [mm] P: \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \to \mathbb R [/mm] gegeben durch [mm] P(a,b) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 [/mm] .
Dann ist
[mm] i_3 ( P(a,b) ) = ( a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 ) \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \delta_3 [/mm].
Ist das alles so korrekt?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Do 24.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Hallo!
>
> Danke, als aller erstes!
> Ich habe das nun ausgerechnet und ich komme zum folgendem
> Ergebnis:
>
> ...
> [mm]a_1 \delta_1 \wedge b_1 \delta_2 \wedge \delta_3 + a_2 \delta_2 \wedge b_2 \delta_3 \wedge \delta_1 + a_3 \delta_3 \wedge b_3 \delta_1 \wedge \delta_2[/mm]
>
> [mm]= a_1 b_1 \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \delta_3 + a_2 b_2
\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \delta_3 + a_3 b_3 \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \delta_3 [/mm].
>
> So, dass wäre jetzt mein Ergebnis! Richtig?
> Kann man das noch kompremierter schreiben?
Nur so: [mm](a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3)\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \delta_3 [/mm].
> So, wenn ich das jetzt richtig sehe, ist meine gesuchte
> Abbildung
> [mm]P: \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \to \mathbb R[/mm]
> einfach
> die Abbildung, die je zwei Vektoren [mm]a,b \in \mathbb R^3[/mm] ihr
> Skalatprodukt zuordent. Kann das stimmen?
>
> Also: Sei [mm]P: \mathbb R^3 \times \mathbb R^3 \to \mathbb R[/mm]
> gegeben durch [mm]P(a,b) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3[/mm] .
> Dann ist
> [mm]i_3 ( P(a,b) ) = ( a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 ) \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \delta_3 [/mm].
>
> Ist das alles so korrekt?
Alles richtig!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Do 24.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Viele vieln Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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