A und B kompakt und Schnitt < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Mi 27.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Seien $A,B$ kompakte Teilmengen eines metrischen Raumes. Man zeige, dass [mm] $A\cup [/mm] B$ kompakt ist. |
Hallo,
Beweis: Es ist [mm] $(U_{i})_{i \in I}$ [/mm] eine offene Überdeckung von [mm] $A\cup [/mm] B$. Dann ist es auch eine offene Überdeckung von $A$ und eine offene Überdeckung von $B$. Wegen der Kompaktheit von $A,B$ existieren [mm] $J_{1},J_{2} \subset [/mm] I$ endlich, so dass:
$A [mm] \subset \bigcup_{j\in J_{1}} U_{j}$ [/mm] und $B [mm] \subset \bigcup_{j\in J_{2}} U_{j}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow A\cup [/mm] B [mm] \subset \bigcup_{j\in J_{1}\cup J_{2}}U_{j}$
[/mm]
Mit der Endlichkeit von [mm] $J_{1}\cup J_{2}\subset [/mm] I$ ist das auch eine Überdeckung von [mm] $(U_{i})_{i\in I}$
[/mm]
Reicht das so? Was kann man besser macheN?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Do 28.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Reicht das so?
Ja.
> Was kann man besser macheN?
Das N sollte ein kleines n sein. =)
Im Ernst:
> Mit der Endlichkeit von $ [mm] J_{1}\cup J_{2}\subset [/mm] I $ ist das auch eine Überdeckung von $ [mm] (U_{i})_{i\in I} [/mm] $
Der Satz ist ein bißchen mißverständlich was was ist. Die (vielleicht über-) vollständige Variante wäre, denk ich:
Mit der Endlichkeit von [mm] $J_1\cup J_2\subseteq [/mm] I$, [mm] $|J_1\cup J_2|\leq |J_2|+|J_2|<\infty$, [/mm] ist $ [mm] (U_{i})_{i\in J_1\cup J_2} [/mm] $ die gesuchte endliche Teilüberdeckung von [mm] $A\cup [/mm] B$.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Do 28.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> Verbesserung
Dankeschön!
> ciao
Gruss
kushkush
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