A offen => besondere Darst. < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mo 26.04.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Zeige: Ist $A [mm] \subseteq \IR$, [/mm] so lässt sich A als abzählbare Vereinigung paarweise disjunkter, offener Intervalle darstellen, beispielweise als [mm] A=\bigcup_{n \in \IN}^{}(a_n, b_n). [/mm] |
Hi!
Die Frage sieht eigentlich nicht so schwierig aus und dass es so sein muss ist auch recht anschaulich. [mm] \IR [/mm] lässt ja nicht viel Spielraum um sich dort eine offene Menge zu schnappen. A kann sein was es will, nicht einmal zusammenhängend, aber im Prinzip ist A doch immer eine Vereinigung offener Intervalle, die man auch so wählen kann, dass man nur disjunkte nimmt.
Und wenn A irgendwelche isolierten Punkte hätte oder solche Geschichten, dann wäre A ja schon nicht mehr offen.
Ich wollte Anfangen mit
A offen [mm] \gdw A=\{x \in \IR | a_0
Hat jemand einen Ansatz, wie ich vernünftig erklären kann, dass A solch eine Darstellung haben muss?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 26.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hat jemand einen Ansatz, wie ich vernünftig erklären
> kann, dass A solch eine Darstellung haben muss?
Sei x in A, dann gibt es ein Interval mit x in A. Verlängere die Enden des Intervals maximal - warum geht das? Jedes x liegt in einem solchen maximalen Intervall - A ist Vereinigung dieser.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mo 26.04.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also wenn x [mm] \in [/mm] A ist, dann liegt x ja in einer eigenen [mm] \varepsilon-Umgebung U_{\varepsilon}(x), [/mm] was ja ein offenes Intervall ist. Innerhalb dieser [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] kann ich mir (zu beiden Seiten hin) immer noch andere Elemente [mm] x_i [/mm] aus [mm] U_{\varepsilon}(x) [/mm] nehmen und darum eine weitere [mm] \varepsilon-Umgebung U_{\varepsilon_i}(x_i) [/mm] legen, sodass [mm] U_{\varepsilon}(x) \cup U_{\varepsilon_i}(x_i) [/mm] nach "links oder rechts hin" eben breiter als [mm] U_{\varepsilon}(x) [/mm] ist. Dann wählt man sich [mm] U_{\varepsilon}(x) \cup U_{\varepsilon_i}(x_i) [/mm] als neue Umgebung von x und wiederholt das Verfahren, was ja einer Verlängerung des Intervalls um x nach beiden Seiten hin entspricht. Das kann man so lange machen sie es geht, da es ja immer noch Elemente aus A gibt, die in der Umgebung von x liegen.
So?
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mo 26.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> So?
Dein Verfahren muss nicht das längste Intervall ergeben - es kann immer breiter werden, der "Limes" aber immer noch drin sein. Du kannst ja eh gleich a, b minimal bzw. maximal wählen mit [m]x\in (a,b)\subset A[/m] (ganz formal sind das Mengen und du nimmst dann Infimum/Supremum).
SEcki
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